Страница 185 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

705 Найдите площадь равнобедренной трапеции с основаниями 2 см и 6 см, если угол при большем основании равен α.

Для нахождения площади равнобедренной трапеции воспользуемся формулой: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания трапеции, а $h$ — ее высота.

По условию задачи, основания трапеции равны $a = 6$ см и $b = 2$ см. Угол при большем основании равен $\alpha$. Чтобы найти площадь, нам необходимо определить высоту $h$.

Проведем из вершины меньшего основания высоту к большему основанию. В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка. Длина одного из них, прилегающего к боковой стороне, равна полуразности оснований.

Найдем длину этого отрезка (назовем его $x$): $x = \frac{a-b}{2} = \frac{6-2}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Этот отрезок $x$ и высота $h$ являются катетами прямоугольного треугольника, в котором гипотенузой является боковая сторона трапеции, а один из острых углов равен $\alpha$ (угол при основании трапеции).

В этом прямоугольном треугольнике тангенс угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета ($h$) к прилежащему катету ($x$): $\text{tg}(\alpha) = \frac{h}{x}$

Отсюда можем выразить высоту $h$: $h = x \cdot \text{tg}(\alpha) = 2 \cdot \text{tg}(\alpha)$ см.

Теперь подставим все известные значения в формулу площади трапеции: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{6+2}{2} \cdot (2 \cdot \text{tg}(\alpha))$ $S = \frac{8}{2} \cdot 2 \cdot \text{tg}(\alpha) = 4 \cdot 2 \cdot \text{tg}(\alpha) = 8 \cdot \text{tg}(\alpha)$ см$^2$.

Ответ: $8 \cdot \text{tg}(\alpha)$ см$^2$.

706 Насыпь шоссейной дороги имеет в верхней части ширину 60 м. Какова ширина насыпи в нижней её части, если угол наклона откосов равен 60°, а высота насыпи равна 12 м (рис. 240)?

Геометрически поперечное сечение насыпи представляет собой равнобокую трапецию. Пусть ее верхнее (меньшее) основание равно $b$, нижнее (большее) основание - $a$, а высота - $h$.

По условию задачи нам даны следующие величины:

• Ширина верхней части (меньшее основание): $b = 60$ м.
• Высота насыпи: $h = 12$ м.
• Угол наклона откосов (угол при нижнем основании трапеции): $\alpha = 60^{\circ}$.

Требуется найти ширину насыпи в нижней части, то есть длину большего основания $a$.

Для нахождения нижнего основания опустим из вершин верхнего основания высоты на нижнее. Трапеция разделится на прямоугольник и два одинаковых прямоугольных треугольника по бокам. Длина верхнего основания прямоугольника будет равна $b = 60$ м, а его высота будет равна $h = 12$ м.

Рассмотрим один из прямоугольных треугольников, образованных боковой стороной трапеции (откосом), высотой $h$ и частью нижнего основания. Обозначим эту часть нижнего основания как $x$. В этом треугольнике:

• Катет, противолежащий углу $\alpha$, равен высоте $h = 12$ м.
• Катет, прилежащий к углу $\alpha$, равен $x$.
• Угол $\alpha = 60^{\circ}$.

Соотношение между катетами и углом в прямоугольном треугольнике выражается через тангенс:

$\tan(\alpha) = \frac{h}{x}$

Отсюда мы можем выразить $x$:

$x = \frac{h}{\tan(\alpha)}$

Подставим известные значения:

$x = \frac{12}{\tan(60^{\circ})}$

Так как $\tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$, получаем:

$x = \frac{12}{\sqrt{3}}$

Для удобства избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:

$x = \frac{12 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ м.

Нижнее основание трапеции $a$ состоит из длины верхнего основания $b$ и двух таких отрезков $x$ (по одному с каждой стороны):

$a = b + 2x$

Подставим значения $b$ и $x$:

$a = 60 + 2 \cdot (4\sqrt{3}) = 60 + 8\sqrt{3}$ м.

Ответ: $60 + 8\sqrt{3}$ м.

707 Найдите углы ромба с диагоналями 23 и 2.

Для нахождения углов ромба воспользуемся его свойствами. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом ($90^\circ$), в точке пересечения делятся пополам и являются биссектрисами углов ромба.

Даны длины диагоналей: $d_1 = 2\sqrt{3}$ и $d_2 = 2$.

Пересекаясь, диагонали делят ромб на четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Катетами каждого такого треугольника являются половины диагоналей.
Вычислим длины катетов:
Первый катет: $a = \frac{d_1}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
Второй катет: $b = \frac{d_2}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Теперь рассмотрим один из этих прямоугольных треугольников. Его острые углы — это половины углов ромба. Найдем величины этих острых углов, используя тригонометрические функции. Например, тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

Пусть $\alpha$ — это острый угол треугольника, противолежащий катету $b=1$. Тогда:
$\tan(\alpha) = \frac{b}{a} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Значение арктангенса для $\frac{1}{\sqrt{3}}$ равно $30^\circ$. Следовательно, $\alpha = 30^\circ$.

Пусть $\beta$ — это второй острый угол треугольника, противолежащий катету $a=\sqrt{3}$. Тогда:
$\tan(\beta) = \frac{a}{b} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$.
Значение арктангенса для $\sqrt{3}$ равно $60^\circ$. Следовательно, $\beta = 60^\circ$.
(Проверка: сумма острых углов в прямоугольном треугольнике должна быть $90^\circ$: $\alpha + \beta = 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ$).

Поскольку диагонали являются биссектрисами, углы ромба в два раза больше найденных углов $\alpha$ и $\beta$.
Один из углов ромба равен $2 \cdot \alpha = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.
Смежный с ним угол ромба равен $2 \cdot \beta = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$.

В ромбе противоположные углы равны, значит, у него есть два угла по $60^\circ$ и два угла по $120^\circ$.

Ответ: $60^\circ$ и $120^\circ$.

708 Стороны прямоугольника равны 3 см и 3 см. Найдите углы, которые образует диагональ со сторонами прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник со сторонами $a = 3$ см и $b = \sqrt{3}$ см. Диагональ делит этот прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника. Стороны прямоугольника являются катетами этих треугольников, а диагональ — их общей гипотенузой.

Рассмотрим один из таких прямоугольных треугольников. Его катеты равны $3$ см и $\sqrt{3}$ см. Углы, которые образует диагональ (гипотенуза) со сторонами (катетами), можно найти с помощью тригонометрических соотношений.

Пусть $\alpha$ — угол, который диагональ образует со стороной длиной 3 см. В прямоугольном треугольнике этот угол лежит напротив катета длиной $\sqrt{3}$ см. Прилежащий к углу $\alpha$ катет равен 3 см.

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению длины противолежащего катета к длине прилежащего катета:
$\tan(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Это табличное значение тангенса, которое соответствует углу $30^{\circ}$. Таким образом, $\alpha = 30^{\circ}$.

Пусть $\beta$ — второй острый угол треугольника, который диагональ образует со стороной длиной $\sqrt{3}$ см. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^{\circ}$. Следовательно:
$\beta = 90^{\circ} - \alpha = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$

Можно также найти $\beta$ через тангенс. Для угла $\beta$ противолежащим катетом будет сторона длиной 3 см, а прилежащим — сторона длиной $\sqrt{3}$ см.
$\tan(\beta) = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$

Это табличное значение тангенса, которое соответствует углу $60^{\circ}$. Таким образом, $\beta = 60^{\circ}$.

Итак, углы, которые диагональ образует со сторонами прямоугольника, равны $30^{\circ}$ и $60^{\circ}$.

Ответ: $30^{\circ}$ и $60^{\circ}$.

709 В параллелограмме ABCD сторона AD равна 12 см, а угол BAD равен 47°50′. Найдите площадь параллелограмма, если его диагональ BD перпендикулярна к стороне AB.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. По условию задачи, сторона $AD = 12$ см, а угол $\angle BAD = 47°50'$. Также известно, что диагональ $BD$ перпендикулярна стороне $AB$, что означает, что угол $\angle ABD$ является прямым, т.е. $\angle ABD = 90°$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Поскольку $\angle ABD = 90°$, этот треугольник является прямоугольным. В этом треугольнике $AD$ — гипотенуза, а $AB$ и $BD$ — катеты.

Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле $S = a \cdot h$, где $a$ — основание, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию. Если мы выберем сторону $AB$ в качестве основания, то высота к ней будет равна длине диагонали $BD$, так как $BD \perp AB$. Следовательно, площадь параллелограмма $ABCD$ можно найти по формуле:

$S_{ABCD} = AB \cdot BD$

Чтобы найти площадь, нам необходимо вычислить длины катетов $AB$ и $BD$. Мы можем сделать это, используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике $ABD$.

Катет $AB$, прилежащий к углу $\angle BAD$, равен произведению гипотенузы $AD$ на косинус этого угла:$AB = AD \cdot \cos(\angle BAD) = 12 \cdot \cos(47°50')$ см.

Катет $BD$, противолежащий углу $\angle BAD$, равен произведению гипотенузы $AD$ на синус этого угла:$BD = AD \cdot \sin(\angle BAD) = 12 \cdot \sin(47°50')$ см.

Теперь подставим найденные выражения для $AB$ и $BD$ в формулу площади параллелограмма:$S_{ABCD} = (12 \cdot \cos(47°50')) \cdot (12 \cdot \sin(47°50'))$$S_{ABCD} = 144 \cdot \sin(47°50') \cdot \cos(47°50')$ см$^2$.

Для упрощения этого выражения воспользуемся тригонометрической формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$. Из нее следует, что $\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.

Применим эту формулу к нашему выражению для площади:$S_{ABCD} = 144 \cdot \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 47°50') = 72 \cdot \sin(2 \cdot 47°50')$.

Вычислим значение двойного угла:$2 \cdot 47°50' = 94°100'$.Поскольку в одном градусе 60 минут ($1° = 60'$), то $100' = 1°40'$.$94°100' = 94° + 1°40' = 95°40'$.

Таким образом, точное значение площади параллелограмма равно:$S_{ABCD} = 72 \cdot \sin(95°40')$ см$^2$.

Для получения численного ответа вычислим значение синуса (с помощью калькулятора):$\sin(95°40') \approx 0.99513$$S_{ABCD} \approx 72 \cdot 0.99513 \approx 71.64936$ см$^2$.

Округлив до сотых, получаем:$S_{ABCD} \approx 71.65$ см$^2$.

Ответ: $S_{ABCD} = 72 \sin(95°40')$ см$^2 \approx 71.65$ см$^2$.

1 Что называется отношением двух отрезков?

1

Отношением двух отрезков называется отношение их длин, выраженных в одних и тех же единицах измерения. Это число, которое показывает, во сколько раз длина одного отрезка больше или меньше длины другого.

Пусть даны два отрезка, $AB$ и $CD$. Их длины — это положительные числа, которые мы обозначим как $|AB|$ и $|CD|$ (или для простоты $AB$ и $CD$). Отношение отрезка $AB$ к отрезку $CD$ есть частное от деления их длин:

$$ \frac{|AB|}{|CD|} $$

Ключевым моментом является то, что длины должны быть выражены в одинаковых единицах измерения (например, сантиметрах, метрах, дюймах). В результате деления единицы измерения сокращаются, и отношение становится безразмерной величиной (просто числом).

Пример:
Пусть длина отрезка $AB$ равна 15 см, а длина отрезка $CD$ равна 5 см.
Тогда отношение отрезка $AB$ к отрезку $CD$ равно:

$$ \frac{15 \text{ см}}{5 \text{ см}} = 3 $$

Это означает, что отрезок $AB$ в 3 раза длиннее отрезка $CD$.

Если же найти отношение отрезка $CD$ к отрезку $AB$, то оно будет равно:

$$ \frac{5 \text{ см}}{15 \text{ см}} = \frac{1}{3} $$

Это означает, что длина отрезка $CD$ составляет одну треть от длины отрезка $AB$.

Ответ: Отношением двух отрезков называется частное от деления их длин, измеренных в одних и тех же единицах.

2 В каком случае говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам А₁В₁ и C₁D₁?

Говорят, что отрезки $AB$ и $CD$ пропорциональны отрезкам $A_1B_1$ и $C_1D_1$, если отношение длины отрезка $AB$ к длине отрезка $A_1B_1$ равно отношению длины отрезка $CD$ к длине отрезка $C_1D_1$.

Это определение можно записать в виде математической пропорции, где $AB$, $CD$, $A_1B_1$ и $C_1D_1$ обозначают длины соответствующих отрезков:

$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{CD}{C_1D_1}$

Данное равенство означает, что отрезки первой пары ($AB$ и $A_1B_1$) соотносятся так же, как и отрезки второй пары ($CD$ и $C_1D_1$). Общее значение этих отношений, если оно существует, называется коэффициентом пропорциональности.

Например, если длина отрезка $AB$ составляет 6 см, а длина $A_1B_1$ — 3 см, то их отношение равно $6/3 = 2$. Чтобы отрезки были пропорциональны, отношение длин $CD$ и $C_1D_1$ также должно быть равно 2. Например, если $CD = 10$ см, то $C_1D_1$ должен быть равен 5 см ($10/5=2$).

Ответ: Отрезки $AB$ и $CD$ пропорциональны отрезкам $A_1B_1$ и $C_1D_1$, если выполняется равенство отношений их длин: $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{CD}{C_1D_1}$.

3 Дайте определение подобных треугольников.

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

Рассмотрим два треугольника, $?ABC$ и $?A_1B_1C_1$. Они будут подобны, что обозначается как $?ABC \sim ?A_1B_1C_1$, если одновременно выполняются два условия:

1. Равенство соответствующих углов:
$?A = ?A_1, \quad ?B = ?B_1, \quad ?C = ?C_1$

2. Пропорциональность сходственных сторон:
$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k$

Сходственными (или соответствующими) сторонами называются стороны, лежащие напротив равных углов. Например, в треугольниках $?ABC$ и $?A_1B_1C_1$ стороны $BC$ и $B_1C_1$ являются сходственными, так как они лежат против равных углов $?A$ и $?A_1$.

Число $k$, равное отношению длин сходственных сторон, называется коэффициентом подобия. Коэффициент подобия показывает, во сколько раз стороны одного треугольника больше или меньше сходственных сторон другого. Если $k=1$, то треугольники равны.

Ответ: Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

4 Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей подобных треугольников.

Формулировка теоремы

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия.

Доказательство

Пусть даны два подобных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Коэффициент подобия равен $k$. Это означает, что их соответствующие стороны пропорциональны:

$\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{A_1C_1}{AC} = k$

и соответствующие углы равны:

$\angle A = \angle A_1, \angle B = \angle B_1, \angle C = \angle C_1$

Площадь треугольника вычисляется по формуле половины произведения основания на высоту. Проведем в треугольниках высоты $BH$ к стороне $AC$ и $B_1H_1$ к стороне $A_1C_1$.

Площади треугольников будут равны:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BH$

$S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} A_1C_1 \cdot B_1H_1$

Найдем отношение площадей этих треугольников:

$\frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2} A_1C_1 \cdot B_1H_1}{\frac{1}{2} AC \cdot BH} = \frac{A_1C_1}{AC} \cdot \frac{B_1H_1}{BH}$

Из определения коэффициента подобия мы знаем, что $\frac{A_1C_1}{AC} = k$.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$. Поскольку $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$, то их соответствующие углы равны, в частности $\angle A = \angle A_1$. Так как $BH$ и $B_1H_1$ — высоты, то $\angle BHA = \angle B_1H_1A_1 = 90^\circ$.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$ подобны по первому признаку подобия (по двум равным углам).

Из подобия этих треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{B_1H_1}{BH} = \frac{A_1B_1}{AB}$

Поскольку $\frac{A_1B_1}{AB} = k$, то и отношение высот также равно коэффициенту подобия:

$\frac{B_1H_1}{BH} = k$

Подставим полученные выражения для отношений сторон и высот в формулу для отношения площадей:

$\frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}} = \frac{A_1C_1}{AC} \cdot \frac{B_1H_1}{BH} = k \cdot k = k^2$

Теорема доказана.

Ответ: Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_1}{S_2} = k^2$.

5 Сформулируйте и докажите теорему, выражающую первый признак подобия треугольников.

Сформулируйте

Теорема (первый признак подобия треугольников): если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Докажите

Теорема. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Дано: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, у которых $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$.

Доказать: $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство.

По определению, треугольники называются подобными, если их углы соответственно равны и сходственные стороны пропорциональны. Таким образом, нам нужно доказать два факта:
1) $\angle A = \angle A_1, \angle B = \angle B_1, \angle C = \angle C_1$
2) $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$

Докажем равенство третьих углов. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$.
Для $\triangle ABC$ имеем: $\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B)$.
Для $\triangle A_1B_1C_1$ имеем: $\angle C_1 = 180^\circ - (\angle A_1 + \angle B_1)$.
Так как по условию теоремы $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$, то правые части этих равенств равны. Следовательно, $\angle C = \angle C_1$.
Таким образом, все углы одного треугольника соответственно равны углам другого.

Теперь докажем пропорциональность сходственных сторон. Наложим треугольник $\triangle A_1B_1C_1$ на треугольник $\triangle ABC$ так, чтобы вершина $A_1$ совпала с вершиной $A$, а стороны $A_1B_1$ и $A_1C_1$ наложились на лучи $AB$ и $AC$ соответственно. Это возможно, поскольку $\angle A_1 = \angle A$. При таком наложении треугольник $\triangle A_1B_1C_1$ отобразится в некоторый треугольник $\triangle AB_2C_2$, который равен $\triangle A_1B_1C_1$.

Поскольку $\triangle AB_2C_2 = \triangle A_1B_1C_1$, то $\angle AB_2C_2 = \angle A_1B_1C_1$. По условию теоремы, $\angle A_1B_1C_1 = \angle B$, то есть $\angle ABC$. Значит, $\angle AB_2C_2 = \angle ABC$.

Углы $\angle AB_2C_2$ и $\angle ABC$ являются соответственными при прямых $B_2C_2$ и $BC$ и секущей $AB$. Так как эти углы равны, то прямые $B_2C_2$ и $BC$ параллельны ($B_2C_2 \parallel BC$).

По теореме о пропорциональных отрезках (обобщённая теорема Фалеса), прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от них пропорциональные отрезки. Применительно к $\triangle ABC$ и прямой $B_2C_2$ это означает:
$\frac{AB_2}{AB} = \frac{AC_2}{AC}$

Так как $\triangle AB_2C_2 = \triangle A_1B_1C_1$, то $AB_2 = A_1B_1$ и $AC_2 = A_1C_1$. Подставив эти значения в пропорцию, получаем:
$\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{A_1C_1}{AC}$, или, что то же самое, $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$.

Аналогично, если наложить треугольники, совмещая равные углы $B$ и $B_1$, можно доказать, что $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1}$.

Таким образом, мы получили, что все три отношения сходственных сторон равны:
$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$.

Мы доказали, что все углы треугольников соответственно равны и их сходственные стороны пропорциональны. Следовательно, по определению, $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.
Теорема доказана.

Ответ: Теорема (первый признак подобия треугольников) утверждает, что если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Доказательство основано на том, что равенство двух пар углов влечет за собой равенство и третьей пары углов (из теоремы о сумме углов треугольника), а пропорциональность сторон доказывается методом наложения с последующим применением теоремы о пропорциональных отрезках.

6 Сформулируйте и докажите теорему, выражающую второй признак подобия треугольников.

Теорема (второй признак подобия треугольников)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Дано:

Даны два треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, в которых выполняются условия:
1. $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$
2. $\angle A = \angle A_1$

Доказать:

$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:

Чтобы доказать подобие треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, достаточно, согласно первому признаку подобия, показать, что у них равны два угла. Один угол уже дан по условию ($\angle A = \angle A_1$), поэтому докажем, что $\angle B = \angle B_1$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AB_2C_2$, который является копией треугольника $\triangle A_1B_1C_1$, построенного следующим образом: на луче $AB$ отложим отрезок $AB_2$, равный $A_1B_1$, а на луче $AC$ отложим отрезок $AC_2$, равный $A_1C_1$, и соединим точки $B_2$ и $C_2$. Так как $\angle A = \angle A_1$, то треугольник $AB_2C_2$ будет равен треугольнику $A_1B_1C_1$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Следовательно, $\triangle AB_2C_2 \cong \triangle A_1B_1C_1$. Из этого следует, что $AB_2 = A_1B_1$ и $AC_2 = A_1C_1$.

Теперь воспользуемся условием пропорциональности сторон: $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$.

Заменим в этой пропорции $A_1B_1$ на $AB_2$ и $A_1C_1$ на $AC_2$. Получим:

$\frac{AB}{AB_2} = \frac{AC}{AC_2}$

Это равенство означает, что стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ пропорциональны сходственным сторонам $AB_2$ и $AC_2$ треугольника $AB_2C_2$.

Согласно теореме, обратной обобщённой теореме Фалеса, если на одной стороне угла отложить отрезки и через их концы провести параллельные прямые, то на другой стороне угла отсекутся пропорциональные отрезки. Обратное утверждение также верно: если прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки, то эти прямые параллельны. В нашем случае прямые $B_2C_2$ и $BC$ отсекают на сторонах угла $A$ пропорциональные отрезки, следовательно, эти прямые параллельны: $B_2C_2 \parallel BC$.

Раз прямые $B_2C_2$ и $BC$ параллельны, то соответственные углы при секущей $AB$ равны: $\angle ABC = \angle AB_2C_2$.

Мы ранее установили, что $\triangle AB_2C_2 \cong \triangle A_1B_1C_1$, а значит, их соответствующие углы равны: $\angle AB_2C_2 = \angle A_1B_1C_1$.

Из двух последних равенств следует, что $\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$, то есть $\angle B = \angle B_1$.

Таким образом, в треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ имеются два равных угла: $\angle A = \angle A_1$ (по условию) и $\angle B = \angle B_1$ (по доказанному). Следовательно, по первому признаку подобия треугольников, $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Теорема доказана.

Ответ: Теорема (второй признак подобия треугольников) гласит: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

7 Сформулируйте и докажите теорему, выражающую третий признак подобия треугольников.

Формулировка теоремы

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Иначе говоря, если для двух треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ выполняется равенство отношений их соответствующих сторон:
$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$
то эти треугольники подобны: $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство

Дано: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, у которых $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$.
Доказать: $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

По определению, треугольники подобны, если их углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого. Условие пропорциональности сторон дано в условии теоремы. Нам остается доказать, что соответствующие углы треугольников равны, то есть $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$.

Для доказательства равенства углов воспользуемся теоремой косинусов. Докажем, например, что $\angle C = \angle C_1$.

По теореме косинусов для $\triangle ABC$:
$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C$
Выразим отсюда косинус угла $C$:
$\cos C = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC}$

Аналогично, по теореме косинусов для $\triangle A_1B_1C_1$:
$A_1B_1^2 = A_1C_1^2 + B_1C_1^2 - 2 \cdot A_1C_1 \cdot B_1C_1 \cdot \cos C_1$
Выразим отсюда косинус угла $C_1$:
$\cos C_1 = \frac{A_1C_1^2 + B_1C_1^2 - A_1B_1^2}{2 \cdot A_1C_1 \cdot B_1C_1}$

Из условия теоремы следует, что отношения сторон равны некоторому числу $k$, которое является коэффициентом подобия:
$\frac{AC}{A_1C_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AB}{A_1B_1} = k$
Отсюда мы можем выразить стороны треугольника $ABC$ через стороны треугольника $A_1B_1C_1$:
$AC = k \cdot A_1C_1$, $BC = k \cdot B_1C_1$, $AB = k \cdot A_1B_1$.

Подставим эти выражения в формулу для $\cos C$:
$\cos C = \frac{(k \cdot A_1C_1)^2 + (k \cdot B_1C_1)^2 - (k \cdot A_1B_1)^2}{2 \cdot (k \cdot A_1C_1) \cdot (k \cdot B_1C_1)} = \frac{k^2(A_1C_1^2 + B_1C_1^2 - A_1B_1^2)}{k^2(2 \cdot A_1C_1 \cdot B_1C_1)}$
Сократив $k^2$ в числителе и знаменателе, получим:
$\cos C = \frac{A_1C_1^2 + B_1C_1^2 - A_1B_1^2}{2 \cdot A_1C_1 \cdot B_1C_1}$

Сравнивая полученное выражение для $\cos C$ с выражением для $\cos C_1$, мы видим, что они тождественно равны:
$\cos C = \cos C_1$

Так как углы треугольника могут принимать значения от $0^\circ$ до $180^\circ$, а на этом промежутке каждому значению косинуса соответствует единственное значение угла, из равенства $\cos C = \cos C_1$ следует равенство самих углов: $\angle C = \angle C_1$.

Таким образом, мы установили, что две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника ($\frac{AC}{A_1C_1} = \frac{BC}{B_1C_1}$), и углы, заключенные между этими сторонами, равны ($\angle C = \angle C_1$).
Следовательно, по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема, выражающая третий признак подобия треугольников, гласит: если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны. Доказательство основано на применении теоремы косинусов для установления равенства углов между пропорциональными сторонами, что в свою очередь позволяет применить второй признак подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними) и завершить доказательство.

8 Какой отрезок называется средней линией треугольника? Сформулируйте и докажите теорему о средней линии треугольника.

Какой отрезок называется средней линией треугольника?

Средней линией треугольника называется отрезок, который соединяет середины двух его сторон.

Каждый треугольник имеет три средние линии. Например, если в треугольнике $ABC$ точки $M$, $N$ и $P$ являются серединами сторон $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно, то отрезки $MN$, $NP$ и $MP$ — это средние линии треугольника $ABC$.

Ответ: Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Сформулируйте и докажите теорему о средней линии треугольника.

Формулировка теоремы
Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине.

Доказательство
Дано:
Рассмотрим треугольник $ABC$.
Пусть $MN$ — его средняя линия, где точка $M$ является серединой стороны $AB$, а точка $N$ — серединой стороны $AC$.
То есть, $AM = MB$ и $AN = NC$.

Доказать:
$MN \parallel BC$ и $MN = \frac{1}{2}BC$.

1. Рассмотрим треугольники $\triangle AMN$ и $\triangle ABC$. У этих треугольников есть общий угол $\angle A$ (или $\angle MAN = \angle BAC$).

2. По определению средней линии, $M$ — середина $AB$, а $N$ — середина $AC$. Это означает, что:
$AM = \frac{1}{2}AB$
$AN = \frac{1}{2}AC$
Следовательно, стороны двух треугольников, прилежащие к общему углу $A$, пропорциональны:
$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{1}{2}$

3. По второму признаку подобия треугольников (если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны), заключаем, что $\triangle AMN$ подобен $\triangle ABC$ ($\triangle AMN \sim \triangle ABC$). Коэффициент подобия $k$ равен $\frac{1}{2}$.

4. Из подобия треугольников следуют два утверждения:
а) Соответствующие углы равны: $\angle AMN = \angle ABC$. Эти углы являются соответственными при прямых $MN$ и $BC$ и секущей $AB$. Так как соответственные углы равны, то прямые параллельны: $MN \parallel BC$.
б) Отношение длин третьих сторон также равно коэффициенту подобия: $\frac{MN}{BC} = k = \frac{1}{2}$. Из этого соотношения следует, что $MN = \frac{1}{2}BC$.

Таким образом, мы доказали, что средняя линия $MN$ параллельна стороне $BC$ и равна её половине. Теорема доказана.

Ответ: Теорема о средней линии треугольника гласит, что средняя линия параллельна третьей стороне треугольника и равна её половине. Доказательство основано на признаке подобия треугольников по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

9 Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Проведем в нем две медианы, $AA_1$ и $BB_1$, где $A_1$ — середина стороны $BC$, а $B_1$ — середина стороны $AC$. Пусть эти медианы пересекаются в точке $O$.

Соединим точки $A_1$ и $B_1$. Отрезок $A_1B_1$ является средней линией треугольника $ABC$, так как он соединяет середины двух его сторон. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна ее половине. Следовательно, $A_1B_1 \parallel AB$ и $A_1B_1 = \frac{1}{2}AB$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle A_1OB_1$. Углы $\angle AOB$ и $\angle A_1OB_1$ равны как вертикальные. Углы $\angle OAB$ (или $\angle BAA_1$) и $\angle OA_1B_1$ (или $\angle AA_1B_1$) равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AB$ и $A_1B_1$ и секущей $AA_1$. Следовательно, треугольник $\triangle AOB$ подобен треугольнику $\triangle A_1OB_1$ по двум углам (первый признак подобия треугольников).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:$\frac{AO}{A_1O} = \frac{BO}{B_1O} = \frac{AB}{A_1B_1}$Так как $A_1B_1 = \frac{1}{2}AB$, то отношение $\frac{AB}{A_1B_1} = 2$.Отсюда следует, что $\frac{AO}{A_1O} = 2$ и $\frac{BO}{B_1O} = 2$.Это доказывает, что точка пересечения двух медиан делит каждую из них в отношении $2:1$, считая от вершины.

Теперь докажем, что третья медиана $CC_1$ (где $C_1$ — середина $AB$) также проходит через точку $O$.Рассмотрим пересечение медиан $AA_1$ и $CC_1$ и назовем их точку пересечения $O'$. Аналогично предыдущим рассуждениям, рассмотрим среднюю линию $A_1C_1$. Она соединяет середины сторон $BC$ и $AB$, поэтому $A_1C_1 \parallel AC$ и $A_1C_1 = \frac{1}{2}AC$.Рассмотрим треугольники $\triangle AO'C$ и $\triangle A_1O'C_1$. Они подобны по двум углам (углы при вершине $O'$ равны как вертикальные, а углы $\angle O'AC$ и $\angle O'A_1C_1$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AC$ и $A_1C_1$ и секущей $AA_1$).

Из подобия этих треугольников следует, что $\frac{AO'}{A_1O'} = \frac{CO'}{C_1O'} = \frac{AC}{A_1C_1} = 2$.Таким образом, точка $O'$ делит медиану $AA_1$ в отношении $2:1$, считая от вершины $A$.

Мы получили, что точка $O$ (пересечение $AA_1$ и $BB_1$) и точка $O'$ (пересечение $AA_1$ и $CC_1$) делят один и тот же отрезок $AA_1$ в одном и том же отношении $2:1$, считая от вершины $A$. Поскольку на отрезке может быть только одна такая точка, точки $O$ и $O'$ должны совпадать.

Это означает, что все три медианы ($AA_1, BB_1, CC_1$) пересекаются в одной и той же точке $O$, и эта точка делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема доказана. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины.

10 Сформулируйте и докажите утверждение о том, что высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на подобные треугольники.

Утверждение

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет его на два треугольника, которые подобны исходному треугольнику и подобны между собой.

Доказательство

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором угол $C$ является прямым ($\angle C = 90^\circ$). Проведём из вершины $C$ высоту $CH$ к гипотенузе $AB$. По определению высоты, $CH \perp AB$, следовательно, углы $\angle CHA$ и $\angle CHB$ также являются прямыми ($\angle CHA = \angle CHB = 90^\circ$).

Нам необходимо доказать три факта подобия:
1. $\triangle ACH \sim \triangle ABC$
2. $\triangle CBH \sim \triangle ABC$
3. $\triangle ACH \sim \triangle CBH$

1. Докажем, что $\triangle ACH \sim \triangle ABC$.
Рассмотрим треугольники $ACH$ и $ABC$.
- Угол $\angle A$ является общим для обоих треугольников.
- Угол $\angle AHC$ в треугольнике $ACH$ равен углу $\angle ACB$ в треугольнике $ABC$, так как оба они прямые ($\angle AHC = \angle ACB = 90^\circ$).
Следовательно, по первому признаку подобия треугольников (по двум углам), $\triangle ACH \sim \triangle ABC$.

2. Докажем, что $\triangle CBH \sim \triangle ABC$.
Рассмотрим треугольники $CBH$ и $ABC$.
- Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников.
- Угол $\angle CHB$ в треугольнике $CBH$ равен углу $\angle ACB$ в треугольнике $ABC$, так как оба они прямые ($\angle CHB = \angle ACB = 90^\circ$).
Следовательно, по первому признаку подобия треугольников (по двум углам), $\triangle CBH \sim \triangle ABC$.

3. Докажем, что $\triangle ACH \sim \triangle CBH$.
Мы уже установили, что $\triangle ACH \sim \triangle ABC$ и $\triangle CBH \sim \triangle ABC$. Из свойства транзитивности подобия (если треугольник A подобен треугольнику B, а треугольник B подобен треугольнику C, то треугольник A подобен треугольнику C) следует, что $\triangle ACH \sim \triangle CBH$.

Таким образом, все три треугольника ($ABC$, $ACH$ и $CBH$) подобны друг другу, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит его на два меньших треугольника, каждый из которых подобен исходному треугольнику и они подобны между собой.

11 Сформулируйте и докажите утверждения о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике.

Утверждения о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике касаются соотношений между катетами, гипотенузой, высотой, проведенной к гипотенузе, и проекциями катетов на гипотенузу. Для формулировки и доказательства этих утверждений рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Проведем высоту $CD$ из вершины $C$ на гипотенузу $AB$.

Введем следующие обозначения: $a=BC$ и $b=AC$ — катеты; $c=AB$ — гипотенуза; $h_c=CD$ — высота, проведенная к гипотенузе; $a_c=DB$ — проекция катета $a$ на гипотенузу; $b_c=AD$ — проекция катета $b$ на гипотенузу. Заметим, что $c = a_c + b_c$.

Основой доказательств является подобие треугольников, образующихся при проведении высоты к гипотенузе. Треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle CBD$ подобны друг другу, и каждый из них подобен исходному треугольнику $\triangle ABC$.
1. $\triangle ABC \sim \triangle ACD$, так как у них общий $\angle A$ и оба имеют прямой угол ($\angle ACB = \angle ADC = 90^\circ$).
2. $\triangle ABC \sim \triangle CBD$, так как у них общий $\angle B$ и оба имеют прямой угол ($\angle ACB = \angle CDB = 90^\circ$).
3. Из этих двух подобий следует, что $\triangle ACD \sim \triangle CBD$.

Первое утверждение: о высоте, проведенной к гипотенузе

Формулировка: Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное (или среднее геометрическое) между отрезками, на которые эта высота делит гипотенузу (то есть между проекциями катетов на гипотенузу).

Доказательство:
Рассмотрим подобные треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle CBD$. Так как треугольники подобны, их соответствующие стороны пропорциональны. Катет $AD$ треугольника $\triangle ACD$ соответствует катету $CD$ треугольника $\triangle CBD$. Катет $CD$ треугольника $\triangle ACD$ соответствует катету $DB$ треугольника $\triangle CBD$.
Таким образом, мы можем составить пропорцию:
$\frac{AD}{CD} = \frac{CD}{DB}$
Используя введенные обозначения, получаем:
$\frac{b_c}{h_c} = \frac{h_c}{a_c}$
Применяя основное свойство пропорции (произведение средних членов равно произведению крайних), имеем:
$h_c \cdot h_c = a_c \cdot b_c$
$h_c^2 = a_c \cdot b_c$
Утверждение доказано.

Ответ: Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу: $h_c^2 = a_c \cdot b_c$.

Второе утверждение: о катете

Формулировка: Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное (или среднее геометрическое) между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

Доказательство:
Это утверждение состоит из двух частей: для каждого катета.

1. Для катета $a$ ($BC$):
Рассмотрим подобные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CBD$. Из их подобия следует пропорциональность соответствующих сторон. Гипотенуза $AB$ первого треугольника относится к гипотенузе $BC$ второго, как катет $BC$ первого к катету $DB$ второго.
$\frac{AB}{BC} = \frac{BC}{DB}$
В наших обозначениях:
$\frac{c}{a} = \frac{a}{a_c}$
Отсюда получаем: $a^2 = c \cdot a_c$.

2. Для катета $b$ ($AC$):
Рассмотрим подобные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ACD$. Аналогично, гипотенуза $AB$ относится к гипотенузе $AC$, как катет $AC$ к катету $AD$.
$\frac{AB}{AC} = \frac{AC}{AD}$
В наших обозначениях:
$\frac{c}{b} = \frac{b}{b_c}$
Отсюда получаем: $b^2 = c \cdot b_c$.
Обе части утверждения доказаны.

Ответ: Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу: $a^2 = c \cdot a_c$ и $b^2 = c \cdot b_c$.