Номер 7, страница 185 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 8. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 7, страница 185.

7 Сформулируйте и докажите теорему, выражающую третий признак подобия треугольников.

Формулировка теоремы

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Иначе говоря, если для двух треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ выполняется равенство отношений их соответствующих сторон:
$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$
то эти треугольники подобны: $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство

Дано: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, у которых $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$.
Доказать: $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

По определению, треугольники подобны, если их углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого. Условие пропорциональности сторон дано в условии теоремы. Нам остается доказать, что соответствующие углы треугольников равны, то есть $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$.

Для доказательства равенства углов воспользуемся теоремой косинусов. Докажем, например, что $\angle C = \angle C_1$.

По теореме косинусов для $\triangle ABC$:
$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C$
Выразим отсюда косинус угла $C$:
$\cos C = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC}$

Аналогично, по теореме косинусов для $\triangle A_1B_1C_1$:
$A_1B_1^2 = A_1C_1^2 + B_1C_1^2 - 2 \cdot A_1C_1 \cdot B_1C_1 \cdot \cos C_1$
Выразим отсюда косинус угла $C_1$:
$\cos C_1 = \frac{A_1C_1^2 + B_1C_1^2 - A_1B_1^2}{2 \cdot A_1C_1 \cdot B_1C_1}$

Из условия теоремы следует, что отношения сторон равны некоторому числу $k$, которое является коэффициентом подобия:
$\frac{AC}{A_1C_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AB}{A_1B_1} = k$
Отсюда мы можем выразить стороны треугольника $ABC$ через стороны треугольника $A_1B_1C_1$:
$AC = k \cdot A_1C_1$, $BC = k \cdot B_1C_1$, $AB = k \cdot A_1B_1$.

Подставим эти выражения в формулу для $\cos C$:
$\cos C = \frac{(k \cdot A_1C_1)^2 + (k \cdot B_1C_1)^2 - (k \cdot A_1B_1)^2}{2 \cdot (k \cdot A_1C_1) \cdot (k \cdot B_1C_1)} = \frac{k^2(A_1C_1^2 + B_1C_1^2 - A_1B_1^2)}{k^2(2 \cdot A_1C_1 \cdot B_1C_1)}$
Сократив $k^2$ в числителе и знаменателе, получим:
$\cos C = \frac{A_1C_1^2 + B_1C_1^2 - A_1B_1^2}{2 \cdot A_1C_1 \cdot B_1C_1}$

Сравнивая полученное выражение для $\cos C$ с выражением для $\cos C_1$, мы видим, что они тождественно равны:
$\cos C = \cos C_1$

Так как углы треугольника могут принимать значения от $0^\circ$ до $180^\circ$, а на этом промежутке каждому значению косинуса соответствует единственное значение угла, из равенства $\cos C = \cos C_1$ следует равенство самих углов: $\angle C = \angle C_1$.

Таким образом, мы установили, что две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника ($\frac{AC}{A_1C_1} = \frac{BC}{B_1C_1}$), и углы, заключенные между этими сторонами, равны ($\angle C = \angle C_1$).
Следовательно, по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема, выражающая третий признак подобия треугольников, гласит: если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны. Доказательство основано на применении теоремы косинусов для установления равенства углов между пропорциональными сторонами, что в свою очередь позволяет применить второй признак подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними) и завершить доказательство.