Номер 12, страница 186 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
Вопросы для повторения к главе 8. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 12, страница 186.
№12 (с. 186)
Условие. №12 (с. 186)
скриншот условия

12 Приведите пример решения задачи на построение методом подобия.
Решение 2. №12 (с. 186)

Решение 4. №12 (с. 186)

Решение 11. №12 (с. 186)
Метод подобия — один из основных методов решения задач на построение. Его суть заключается в следующем:
- Сначала строят фигуру, подобную искомой, используя те данные, которые определяют форму фигуры (например, углы или отношения сторон). При этом игнорируют данные, определяющие размеры фигуры (длины отрезков).
- Затем, используя оставшиеся данные (о длине), строят искомую фигуру. Обычно это делается с помощью гомотетии (преобразования подобия) или путем пересчета размеров и построения фигуры нужного размера.
Рассмотрим применение этого метода на конкретной задаче.
Задача: Построить треугольник по двум углам и высоте, проведенной из вершины третьего угла.
Дано:
- Два угла: $\alpha$ и $\beta$.
- Отрезок $h_c$, равный высоте, проведенной к стороне, прилежащей к этим углам.
Построить: Треугольник $ABC$ такой, что $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$, и высота $CH = h_c$, где $H$ — основание высоты на стороне $AB$.
Анализ. Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. В нем $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$ и высота $CH = h_c$.
Заметим, что форма треугольника полностью определяется его углами. Все треугольники с углами $\alpha$ и $\beta$ подобны друг другу. Это ключевая идея для применения метода подобия.
Мы можем сначала построить любой треугольник $A'B'C'$, подобный искомому. Для этого достаточно, чтобы у него были углы $\angle A' = \alpha$ и $\angle B' = \beta$. Мы можем выбрать для этого произвольный отрезок в качестве стороны $A'B'$.
Построив такой вспомогательный треугольник $A'B'C'$, мы можем провести в нем высоту $C'H'$ из вершины $C'$ к стороне $A'B'$.
Искомый треугольник $ABC$ и построенный $A'B'C'$ подобны. Следовательно, отношение их соответствующих элементов равно коэффициенту подобия $k$:
$\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'} = \frac{CH}{C'H'} = k$
Из условия задачи мы знаем длину высоты $CH = h_c$. Длину высоты $C'H'$ мы можем измерить в нашем вспомогательном построении. Таким образом, мы можем найти коэффициент подобия: $k = \frac{h_c}{C'H'}$.
Зная коэффициент подобия, мы можем построить искомый треугольник. Один из способов — это выполнить преобразование гомотетии с центром в точке $C'$ и коэффициентом $k$. Точка $A$ будет образом точки $A'$, а точка $B$ — образом точки $B'$. Треугольник $ABC$ будет искомым.
Построение.
- Проведем произвольную прямую $m$.
- Построим вспомогательный треугольник $A'B'C'$:
- На прямой $m$ выберем произвольную точку $A'$ и отложим от нее произвольный отрезок $A'B'$.
- В точке $A'$ построим угол, равный данному углу $\alpha$.
- В точке $B'$ построим угол, равный данному углу $\beta$, так, чтобы лучи углов пересеклись. Точку их пересечения обозначим $C'$.
- Получили треугольник $A'B'C'$, который подобен искомому.
- Проведем высоту $C'H'$ в треугольнике $A'B'C'$ из вершины $C'$ на прямую $m$.
- На луче $C'H'$ отложим от точки $C'$ отрезок $CH$, равный данной высоте $h_c$.
- Через точку $H$ проведем прямую $n$, параллельную прямой $m$.
- Прямая $n$ пересечет лучи $C'A'$ и $C'B'$ в точках $A$ и $B$ соответственно.
- Треугольник $ABC$ является искомым.
Ответ: Построенный треугольник $ABC$ является решением задачи.
Доказательство. Нужно доказать, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.
По построению, прямая $AB$ (прямая $n$) параллельна прямой $A'B'$ (прямая $m$).
Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A'B'C'$. Они подобны, так как прямая $AB$ параллельна $A'B'$ и отсекает от углов с вершиной $C'$ треугольник, подобный исходному. Из подобия следует равенство углов: $\angle A = \angle A'$ и $\angle B = \angle B'$.
По построению, $\angle A' = \alpha$ и $\angle B' = \beta$. Следовательно, в построенном треугольнике $ABC$ углы $\angle A = \alpha$ и $\angle B = \beta$. Первые два условия выполнены.
Рассмотрим отрезок $CH$. По построению, точка $H$ лежит на прямой $AB$, а точка $C$ совпадает с $C'$. Отрезок $CH$ лежит на прямой $C'H'$, которая перпендикулярна прямой $m$ ($A'B'$). Так как $n \parallel m$, то $C'H' \perp n$. Значит, $CH$ является высотой треугольника $ABC$, проведенной к стороне $AB$. Длина этой высоты по построению равна $h_c$. Третье условие также выполнено.
Таким образом, построенный треугольник $ABC$ является искомым.
Исследование. Задача имеет решение тогда и только тогда, когда из заданных углов можно составить треугольник. Это возможно, если сумма данных углов меньше $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta < 180^\circ$. Также необходимо, чтобы длина высоты была положительным числом, $h_c > 0$.
Если эти условия выполнены, то построение вспомогательного треугольника $A'B'C'$ всегда возможно. Дальнейшие шаги построения также всегда выполнимы и однозначны. Все треугольники, построенные по заданным углам, подобны. Масштабирование с помощью заданной высоты приводит к единственному (с точностью до конгруэнтности) решению.
Ответ: Задача имеет единственное решение, если $\alpha > 0$, $\beta > 0$, $\alpha + \beta < 180^\circ$ и $h_c > 0$. В противном случае задача решений не имеет.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 12 расположенного на странице 186 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №12 (с. 186), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.