Номер 12, страница 186 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: синий

ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 7 классе

Вопросы для повторения к главе 8. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 12, страница 186.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№12 (с. 186)
Условие. №12 (с. 186)
скриншот условия
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 186, номер 12, Условие

12 Приведите пример решения задачи на построение методом подобия.

Решение 2. №12 (с. 186)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 186, номер 12, Решение 2
Решение 4. №12 (с. 186)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 186, номер 12, Решение 4
Решение 11. №12 (с. 186)

Метод подобия — один из основных методов решения задач на построение. Его суть заключается в следующем:

  • Сначала строят фигуру, подобную искомой, используя те данные, которые определяют форму фигуры (например, углы или отношения сторон). При этом игнорируют данные, определяющие размеры фигуры (длины отрезков).
  • Затем, используя оставшиеся данные (о длине), строят искомую фигуру. Обычно это делается с помощью гомотетии (преобразования подобия) или путем пересчета размеров и построения фигуры нужного размера.

Рассмотрим применение этого метода на конкретной задаче.

Задача: Построить треугольник по двум углам и высоте, проведенной из вершины третьего угла.

Дано:

  • Два угла: $\alpha$ и $\beta$.
  • Отрезок $h_c$, равный высоте, проведенной к стороне, прилежащей к этим углам.

Построить: Треугольник $ABC$ такой, что $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$, и высота $CH = h_c$, где $H$ — основание высоты на стороне $AB$.

Анализ. Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. В нем $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$ и высота $CH = h_c$.

Заметим, что форма треугольника полностью определяется его углами. Все треугольники с углами $\alpha$ и $\beta$ подобны друг другу. Это ключевая идея для применения метода подобия.

Мы можем сначала построить любой треугольник $A'B'C'$, подобный искомому. Для этого достаточно, чтобы у него были углы $\angle A' = \alpha$ и $\angle B' = \beta$. Мы можем выбрать для этого произвольный отрезок в качестве стороны $A'B'$.

Построив такой вспомогательный треугольник $A'B'C'$, мы можем провести в нем высоту $C'H'$ из вершины $C'$ к стороне $A'B'$.

Искомый треугольник $ABC$ и построенный $A'B'C'$ подобны. Следовательно, отношение их соответствующих элементов равно коэффициенту подобия $k$:

$\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'} = \frac{CH}{C'H'} = k$

Из условия задачи мы знаем длину высоты $CH = h_c$. Длину высоты $C'H'$ мы можем измерить в нашем вспомогательном построении. Таким образом, мы можем найти коэффициент подобия: $k = \frac{h_c}{C'H'}$.

Зная коэффициент подобия, мы можем построить искомый треугольник. Один из способов — это выполнить преобразование гомотетии с центром в точке $C'$ и коэффициентом $k$. Точка $A$ будет образом точки $A'$, а точка $B$ — образом точки $B'$. Треугольник $ABC$ будет искомым.

Построение.

  1. Проведем произвольную прямую $m$.
  2. Построим вспомогательный треугольник $A'B'C'$:
    • На прямой $m$ выберем произвольную точку $A'$ и отложим от нее произвольный отрезок $A'B'$.
    • В точке $A'$ построим угол, равный данному углу $\alpha$.
    • В точке $B'$ построим угол, равный данному углу $\beta$, так, чтобы лучи углов пересеклись. Точку их пересечения обозначим $C'$.
    • Получили треугольник $A'B'C'$, который подобен искомому.
  3. Проведем высоту $C'H'$ в треугольнике $A'B'C'$ из вершины $C'$ на прямую $m$.
  4. На луче $C'H'$ отложим от точки $C'$ отрезок $CH$, равный данной высоте $h_c$.
  5. Через точку $H$ проведем прямую $n$, параллельную прямой $m$.
  6. Прямая $n$ пересечет лучи $C'A'$ и $C'B'$ в точках $A$ и $B$ соответственно.
  7. Треугольник $ABC$ является искомым.

Ответ: Построенный треугольник $ABC$ является решением задачи.

Доказательство. Нужно доказать, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

По построению, прямая $AB$ (прямая $n$) параллельна прямой $A'B'$ (прямая $m$).

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A'B'C'$. Они подобны, так как прямая $AB$ параллельна $A'B'$ и отсекает от углов с вершиной $C'$ треугольник, подобный исходному. Из подобия следует равенство углов: $\angle A = \angle A'$ и $\angle B = \angle B'$.

По построению, $\angle A' = \alpha$ и $\angle B' = \beta$. Следовательно, в построенном треугольнике $ABC$ углы $\angle A = \alpha$ и $\angle B = \beta$. Первые два условия выполнены.

Рассмотрим отрезок $CH$. По построению, точка $H$ лежит на прямой $AB$, а точка $C$ совпадает с $C'$. Отрезок $CH$ лежит на прямой $C'H'$, которая перпендикулярна прямой $m$ ($A'B'$). Так как $n \parallel m$, то $C'H' \perp n$. Значит, $CH$ является высотой треугольника $ABC$, проведенной к стороне $AB$. Длина этой высоты по построению равна $h_c$. Третье условие также выполнено.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ является искомым.

Исследование. Задача имеет решение тогда и только тогда, когда из заданных углов можно составить треугольник. Это возможно, если сумма данных углов меньше $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta < 180^\circ$. Также необходимо, чтобы длина высоты была положительным числом, $h_c > 0$.

Если эти условия выполнены, то построение вспомогательного треугольника $A'B'C'$ всегда возможно. Дальнейшие шаги построения также всегда выполнимы и однозначны. Все треугольники, построенные по заданным углам, подобны. Масштабирование с помощью заданной высоты приводит к единственному (с точностью до конгруэнтности) решению.

Ответ: Задача имеет единственное решение, если $\alpha > 0$, $\beta > 0$, $\alpha + \beta < 180^\circ$ и $h_c > 0$. В противном случае задача решений не имеет.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 12 расположенного на странице 186 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №12 (с. 186), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться