Номер 18, страница 186 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
Вопросы для повторения к главе 8. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 18, страница 186.
№18 (с. 186)
Условие. №18 (с. 186)
скриншот условия

18 Чему равны значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60°? Ответ обоснуйте.
Решение 2. №18 (с. 186)

Решение 4. №18 (с. 186)

Решение 11. №18 (с. 186)
Для нахождения значений синуса, косинуса и тангенса для указанных углов мы воспользуемся геометрическим методом, рассматривая прямоугольные треугольники с этими углами.
Угол 30°
Для нахождения тригонометрических значений углов 30° и 60° рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$. Все его углы равны $60^\circ$. Проведем высоту $BH$ к стороне $AC$. В равностороннем треугольнике высота является также медианой и биссектрисой. Следовательно, треугольник $ABH$ — прямоугольный ($\angle AHB = 90^\circ$), $AH = \frac{a}{2}$ (так как $BH$ — медиана), и $\angle ABH = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$.
Найдем длину высоты $BH$ по теореме Пифагора из треугольника $ABH$:
$BH^2 = AB^2 - AH^2 = a^2 - (\frac{a}{2})^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$
Отсюда $BH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Теперь найдем значения для угла $30^\circ$ ($\angle ABH$). Противолежащий катет — это $AH$, прилежащий катет — $BH$, гипотенуза — $AB$.
- Синус — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
$\sin(30^\circ) = \frac{AH}{AB} = \frac{a/2}{a} = \frac{1}{2}$ - Косинус — это отношение прилежащего катета к гипотенузе:
$\cos(30^\circ) = \frac{BH}{AB} = \frac{a\sqrt{3}/2}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ - Тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему:
$\tan(30^\circ) = \frac{AH}{BH} = \frac{a/2}{a\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Ответ: $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Угол 45°
Для нахождения тригонометрических значений угла $45^\circ$ рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. В таком треугольнике острые углы равны: $\angle A = \angle B = \frac{180^\circ - 90^\circ}{2} = 45^\circ$.
Пусть катеты $AC$ и $BC$ равны $a$. Тогда $AC = BC = a$.
Найдем гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора:
$AB^2 = AC^2 + BC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$
Отсюда $AB = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.
Теперь найдем значения для угла $45^\circ$ (например, угла $A$). Противолежащий катет — $BC$, прилежащий катет — $AC$, гипотенуза — $AB$.
- Синус — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
$\sin(45^\circ) = \frac{BC}{AB} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ - Косинус — это отношение прилежащего катета к гипотенузе:
$\cos(45^\circ) = \frac{AC}{AB} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ - Тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему:
$\tan(45^\circ) = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{a} = 1$
Ответ: $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\tan(45^\circ) = 1$.
Угол 60°
Воспользуемся тем же равносторонним треугольником $ABC$ и прямоугольным треугольником $ABH$, который мы рассматривали для угла $30^\circ$.
В треугольнике $ABH$ угол $\angle BAH = 60^\circ$. Его стороны: гипотенуза $AB = a$, катет $AH = \frac{a}{2}$ (прилежащий к углу $60^\circ$) и катет $BH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ (противолежащий углу $60^\circ$).
- Синус — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
$\sin(60^\circ) = \frac{BH}{AB} = \frac{a\sqrt{3}/2}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ - Косинус — это отношение прилежащего катета к гипотенузе:
$\cos(60^\circ) = \frac{AH}{AB} = \frac{a/2}{a} = \frac{1}{2}$ - Тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему:
$\tan(60^\circ) = \frac{BH}{AH} = \frac{a\sqrt{3}/2}{a/2} = \sqrt{3}$
Ответ: $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 18 расположенного на странице 186 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №18 (с. 186), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.