Номер 711, страница 186 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 711, страница 186.

711 Диагональ АС трапеции ABCD делит её на два подобных треугольника. Докажите, что АС² = a ⋅ b, где a и b — основания трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$, в которой основания $BC$ и $AD$ параллельны. Обозначим длины оснований как $BC = a$ и $AD = b$.

Диагональ $AC$ делит трапецию на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. По условию задачи, эти треугольники подобны.

Так как $BC \parallel AD$ (как основания трапеции), а $AC$ является секущей, то накрест лежащие углы равны: $\angle BCA = \angle CAD$.

Поскольку треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$ подобны и у них есть пара заведомо равных углов ($\angle BCA$ в первом и $\angle CAD$ во втором), мы должны определить правильное соответствие вершин для установления пропорциональности сторон. Рассмотрим подобие вида $\triangle ABC \sim \triangle DCA$.

Такое подобие означает, что углы треугольников равны следующим образом: $\angle BAC = \angle ADC$, $\angle ABC = \angle DCA$ и $\angle BCA = \angle CAD$. Последнее равенство, как было показано выше, является свойством любой трапеции. Следовательно, данное соответствие вершин возможно.

Из подобия треугольников $\triangle ABC \sim \triangle DCA$ следует, что отношение длин их сходственных сторон равно. Сходственные стороны лежат напротив равных углов. Запишем это в виде пропорции:

$ \frac{BC}{AC} = \frac{AC}{AD} = \frac{AB}{DC} $

(Здесь $BC$ противолежит углу $\angle BAC$, а $AC$ — равному ему углу $\angle ADC$; сторона $AC$ противолежит углу $\angle ABC$, а $AD$ — равному ему углу $\angle DCA$).

Для доказательства нам достаточно использовать первую часть этой пропорции: $ \frac{BC}{AC} = \frac{AC}{AD} $

Подставим в полученное равенство заданные длины оснований $BC = a$ и $AD = b$: $ \frac{a}{AC} = \frac{AC}{b} $

Используя основное свойство пропорции (произведение средних членов равно произведению крайних), получаем: $ AC \cdot AC = a \cdot b $

Таким образом, $AC^2 = a \cdot b$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.