Номер 714, страница 186 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 714, страница 186.

714 На продолжении боковой стороны ОВ равнобедренного треугольника AOB с основанием AB взята точка С так, что точка В лежит между точками О и С. Отрезок АС пересекает биссектрису угла AOB в точке М. Докажите, что АМ < МС.

Рассмотрим треугольники $OAM$ и $OBM$.

1. 1. $OA = OB$ по условию, так как треугольник $AOB$ равнобедренный с основанием $AB$.
2. 2. Сторона $OM$ — общая.
3. 3. $\angle AOM = \angle BOM$ по условию, так как $OM$ — биссектриса угла $AOB$.

Следовательно, $\triangle OAM = \triangle OBM$ по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов: $AM = BM$ и $\angle OMA = \angle OMB$.

Таким образом, задача сводится к доказательству неравенства $BM < MC$.

Рассмотрим треугольник $BMC$. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот. Для доказательства неравенства $BM < MC$ достаточно доказать, что угол, противолежащий стороне $BM$, меньше угла, противолежащего стороне $MC$. То есть, нам нужно доказать, что $\angle BCM < \angle MBC$.

Для нахождения и сравнения этих углов воспользуемся теоремой о внешнем угле треугольника.

1. Рассмотрим треугольник $OCM$. Точка $M$ лежит на отрезке $AC$, поэтому угол $\angle OMA$ является внешним для треугольника $OCM$ при вершине $M$. По свойству внешнего угла, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

$\angle OMA = \angle MOC + \angle MCO$

По условию, $OM$ — биссектриса угла $AOB$, обозначим $\angle AOM = \angle BOM = \beta$. Точка $C$ лежит на продолжении стороны $OB$ за точку $B$, значит лучи $OB$ и $OC$ совпадают, и $\angle MOC = \angle BOM = \beta$. Угол $\angle MCO$ — это и есть угол $\angle BCM$. Обозначим его $\gamma$.

Получаем: $\angle OMA = \beta + \gamma$.

2. Из доказанного ранее равенства треугольников $\triangle OAM = \triangle OBM$ следует, что $\angle OMB = \angle OMA$. Таким образом, $\angle OMB = \beta + \gamma$.

3. Теперь рассмотрим треугольник $OBM$. Точки $O, B, C$ лежат на одной прямой, поэтому угол $\angle MBC$ является внешним для треугольника $OBM$ при вершине $B$. По свойству внешнего угла:

$\angle MBC = \angle BOM + \angle OMB$

Подставляя известные нам выражения для углов, получаем:

$\angle MBC = \beta + (\beta + \gamma) = 2\beta + \gamma$.

4. Теперь сравним углы $\angle BCM$ и $\angle MBC$.

$\angle BCM = \gamma$

$\angle MBC = 2\beta + \gamma$

Так как $\triangle AOB$ является невырожденным треугольником, то его угол $\angle AOB = 2\beta$ должен быть больше нуля, следовательно, $\beta > 0$.

Отсюда $2\beta > 0$, и $2\beta + \gamma > \gamma$. Значит, $\angle MBC > \angle BCM$.

В треугольнике $BMC$ против большего угла $\angle MBC$ лежит большая сторона $MC$, а против меньшего угла $\angle BCM$ лежит меньшая сторона $BM$. Таким образом, $MC > BM$.

Так как мы ранее установили, что $AM = BM$, то из неравенства $MC > BM$ следует, что $MC > AM$, или $AM < MC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство $AM < MC$ доказано.