Номер 720, страница 187 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 720, страница 187.

720 Диагонали прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом А взаимно перпендикулярны. Основание AB равно 6 см, а боковая сторона AD равна 4 см. Найдите DC, DB и СВ.

Дано: $ABCD$ — прямоугольная трапеция, $?A = 90°$. Так как основания трапеции параллельны ($AB || DC$), а боковая сторона $AD$ перпендикулярна основанию $AB$, то она также перпендикулярна и основанию $DC$, следовательно, $?D = 90°$. Таким образом, $AD$ является высотой трапеции.

Известны длины: основание $AB = 6$ см, высота $AD = 4$ см.

Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны: $AC ? BD$.

DC

В прямоугольной трапеции с перпендикулярными диагоналями квадрат высоты равен произведению ее оснований. Докажем это свойство.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей. Рассмотрим треугольники $?AOD$ и $?BOC$. Они не подобны, но мы можем использовать другие треугольники.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $?ABD$ ($?A = 90°$) и $?ADC$ ($?D = 90°$).

Пусть $?ABD = ?$. Из $?ABD$ имеем $tan(?) = \frac{AD}{AB}$.

Так как $AC ? BD$, то $?AOB = 90°$. В прямоугольном треугольнике $?AOB$ имеем $?OAB = 90° - ?ABO = 90° - ?$.

Поскольку $?DAB = 90°$, то $?DAC = ?DAB - ?CAB = 90° - ?OAB = 90° - (90° - ?) = ?$.

Теперь в прямоугольном треугольнике $?ADC$ имеем $tan(?DAC) = \frac{DC}{AD}$.

Поскольку $?DAC = ?$, то $tan(?) = \frac{DC}{AD}$.

Приравнивая два выражения для $tan(?)$, получаем: $ \frac{AD}{AB} = \frac{DC}{AD} $

Отсюда $AD^2 = AB \cdot DC$.

Подставим известные значения: $ 4^2 = 6 \cdot DC $ $ 16 = 6 \cdot DC $ $ DC = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} $ см.

Ответ: $DC = \frac{8}{3}$ см.

DB

Диагональ $DB$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $?ABD$ ($?A = 90°$). По теореме Пифагора: $ DB^2 = AB^2 + AD^2 $

Подставим известные значения: $ DB^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52 $

$ DB = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13} $ см.

Ответ: $DB = 2\sqrt{13}$ см.

CB

Для нахождения боковой стороны $CB$ опустим высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AB$. Получим прямоугольник $ADCH$, так как $AD || CH$ и $DC || AH$.

Следовательно, высота $CH = AD = 4$ см, а отрезок $AH = DC = \frac{8}{3}$ см.

Найдем длину отрезка $HB$: $ HB = AB - AH = 6 - \frac{8}{3} = \frac{18}{3} - \frac{8}{3} = \frac{10}{3} $ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $?CHB$ ($?H = 90°$). По теореме Пифагора: $ CB^2 = CH^2 + HB^2 $

Подставим найденные значения: $ CB^2 = 4^2 + \left(\frac{10}{3}\right)^2 = 16 + \frac{100}{9} = \frac{144}{9} + \frac{100}{9} = \frac{244}{9} $

$ CB = \sqrt{\frac{244}{9}} = \frac{\sqrt{244}}{3} = \frac{\sqrt{4 \cdot 61}}{3} = \frac{2\sqrt{61}}{3} $ см.

Ответ: $CB = \frac{2\sqrt{61}}{3}$ см.