Номер 713, страница 186 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 713, страница 186.

713 Основание равнобедренного треугольника относится к боковой стороне как 4 : 3, а высота, проведённая к основанию, равна 30 см. Найдите отрезки, на которые эту высоту делит биссектриса угла при основании.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. Пусть $BH$ – высота, проведенная к основанию $AC$. По условию, $BH = 30$ см. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой, поэтому точка $H$ – середина $AC$, и следовательно, $AH = HC$.

Из условия известно, что отношение основания к боковой стороне равно $4:3$. Пусть коэффициент пропорциональности равен $x$. Тогда основание $AC = 4x$, а боковая сторона $AB = 3x$. Так как $H$ – середина $AC$, то $AH = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2}(4x) = 2x$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (угол $\angle AHB = 90^\circ$). По теореме Пифагора: $AB^2 = AH^2 + BH^2$

Подставим известные значения и выражения через $x$:
$(3x)^2 = (2x)^2 + 30^2$
$9x^2 = 4x^2 + 900$
$9x^2 - 4x^2 = 900$
$5x^2 = 900$
$x^2 = \frac{900}{5} = 180$

Теперь мы можем найти длины отрезков $AB$ и $AH$.
$AB = 3x = 3\sqrt{180} = 3 \cdot \sqrt{36 \cdot 5} = 3 \cdot 6\sqrt{5} = 18\sqrt{5}$ см.
$AH = 2x = 2\sqrt{180} = 2 \cdot 6\sqrt{5} = 12\sqrt{5}$ см.

Пусть $AD$ – биссектриса угла при основании $A$ (т.е. $\angle BAC$). Она пересекает высоту $BH$ в точке $O$. Мы ищем длины отрезков $BO$ и $OH$, на которые биссектриса делит высоту.

Рассмотрим треугольник $ABH$. Отрезок $AO$ является биссектрисой угла $BAH$ (так как $\angle BAH$ это тот же угол, что и $\angle BAC$). По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону (в нашем случае $BH$) на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника ($AB$ и $AH$). Таким образом, мы можем записать отношение:
$\frac{BO}{OH} = \frac{AB}{AH}$

Подставим найденные значения длин $AB$ и $AH$:
$\frac{BO}{OH} = \frac{18\sqrt{5}}{12\sqrt{5}} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$

Итак, мы получили, что точка $O$ делит высоту $BH$ в отношении $3:2$, считая от вершины $B$. Общая длина высоты $BH = BO + OH = 30$ см. Пусть $BO = 3y$ и $OH = 2y$. Тогда:
$3y + 2y = 30$
$5y = 30$
$y = 6$ см.

Теперь найдем длины искомых отрезков:
$BO = 3y = 3 \cdot 6 = 18$ см.
$OH = 2y = 2 \cdot 6 = 12$ см.
Ответ: 18 см и 12 см.