Номер 717, страница 187 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 717, страница 187.

717 Докажите, что медиана AM треугольника ABC делит пополам любой отрезок, параллельный стороне ВС, концы которого лежат на сторонах AB и АС.

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором $AM$ — медиана, проведенная к стороне $BC$. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $BC$, следовательно, $BM = MC$. Рассмотрим произвольный отрезок $PQ$, который параллелен стороне $BC$ ($PQ \parallel BC$), и концы которого лежат на сторонах $AB$ и $AC$ (точка $P$ на $AB$, точка $Q$ на $AC$). Пусть медиана $AM$ пересекает отрезок $PQ$ в точке $N$. Необходимо доказать, что точка $N$ является серединой отрезка $PQ$, то есть $PN = NQ$.

Для доказательства воспользуемся методом подобия треугольников.

Сначала рассмотрим треугольники $\triangle APN$ и $\triangle ABM$. Угол $\angle BAM$ является общим для этих двух треугольников. Поскольку по условию $PQ \parallel BC$, углы $\angle APN$ и $\angle ABM$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $PQ$, $BC$ и секущей $AB$. Следовательно, треугольник $\triangle APN$ подобен треугольнику $\triangle ABM$ по двум углам (первый признак подобия). Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон: $\frac{PN}{BM} = \frac{AN}{AM}$

Из этого соотношения выразим длину отрезка $PN$: $PN = BM \cdot \frac{AN}{AM}$

Теперь рассмотрим другую пару треугольников: $\triangle ANQ$ и $\triangle AMC$. Угол $\angle CAM$ является для них общим. Так как $PQ \parallel BC$, углы $\angle AQN$ и $\angle ACM$ равны как соответственные при параллельных прямых $PQ$, $BC$ и секущей $AC$. Значит, треугольник $\triangle ANQ$ подобен треугольнику $\triangle AMC$ по двум углам. Из их подобия также следует пропорциональность сторон: $\frac{NQ}{MC} = \frac{AN}{AM}$

Выразим длину отрезка $NQ$: $NQ = MC \cdot \frac{AN}{AM}$

Теперь сравним полученные выражения для $PN$ и $NQ$. $PN = BM \cdot \frac{AN}{AM}$ $NQ = MC \cdot \frac{AN}{AM}$ Поскольку $AM$ является медианой, то по определению $BM = MC$. Следовательно, правые части этих равенств равны. А значит, равны и левые части: $PN = NQ$

Таким образом, мы доказали, что точка $N$ делит отрезок $PQ$ пополам. Это справедливо для любого отрезка, параллельного стороне $BC$, с концами на сторонах $AB$ и $AC$.

Ответ: Утверждение доказано. Медиана $AM$ треугольника $ABC$ делит пополам любой отрезок, параллельный стороне $BC$, концы которого лежат на сторонах $AB$ и $AC$.