Номер 724, страница 187 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: синий

ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 7 классе

Дополнительные задачи. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 724, страница 187.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№724 (с. 187)
Условие. №724 (с. 187)
скриншот условия
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 187, номер 724, Условие

724 Точки М и N являются соответственно серединами сторон CD и ВС параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AM и AN делят диагональ BD на три равные части.

Решение 2. №724 (с. 187)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 187, номер 724, Решение 2
Решение 3. №724 (с. 187)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 187, номер 724, Решение 3
Решение 4. №724 (с. 187)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 187, номер 724, Решение 4
Решение 6. №724 (с. 187)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 187, номер 724, Решение 6
Решение 9. №724 (с. 187)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 187, номер 724, Решение 9 Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 187, номер 724, Решение 9 (продолжение 2)
Решение 11. №724 (с. 187)

Пусть $ABCD$ — заданный параллелограмм. Пусть $M$ — середина стороны $CD$, а $N$ — середина стороны $BC$. Обозначим точки пересечения прямых $AM$ и $AN$ с диагональю $BD$ как $P$ и $Q$ соответственно.

Для доказательства воспользуемся свойством медиан треугольника. Рассмотрим диагонали параллелограмма $AC$ и $BD$. Пусть они пересекаются в точке $O$. По свойству диагоналей параллелограмма, точка $O$ является серединой для каждой из них, то есть $AO = OC$ и $BO = OD$.

1. Рассмотрение треугольника $ABC$

В треугольнике $ABC$ отрезок $AN$ является медианой, так как по условию $N$ — середина стороны $BC$. Отрезок $BO$ также является медианой в $\triangle ABC$, так как $O$ — середина стороны $AC$. Медианы $AN$ и $BO$ пересекаются в точке $Q$. По свойству медиан, точка их пересечения делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Для медианы $BO$ это означает: $$ BQ : QO = 2:1 $$ Из этого соотношения следует, что $BQ = \frac{2}{3}BO$.

Поскольку $O$ — середина всей диагонали $BD$, то $BO = \frac{1}{2}BD$. Подставим это в предыдущее выражение: $$ BQ = \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}BD\right) = \frac{1}{3}BD $$

2. Рассмотрение треугольника $ADC$

Аналогично, в треугольнике $ADC$ отрезок $AM$ является медианой, так как по условию $M$ — середина стороны $CD$. Отрезок $DO$ является медианой в $\triangle ADC$, так как $O$ — середина стороны $AC$. Медианы $AM$ и $DO$ пересекаются в точке $P$. Применяя свойство точки пересечения медиан к медиане $DO$, получаем: $$ DP : PO = 2:1 $$ Из этого соотношения следует, что $DP = \frac{2}{3}DO$.

Поскольку $O$ — середина диагонали $BD$, то $DO = \frac{1}{2}BD$. Подставим это: $$ DP = \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}BD\right) = \frac{1}{3}BD $$

3. Вывод

Мы получили, что длины двух крайних отрезков диагонали равны $BQ = \frac{1}{3}BD$ и $DP = \frac{1}{3}BD$. Длину среднего отрезка $QP$ можно найти, вычтя из длины всей диагонали длины крайних отрезков: $$ QP = BD - BQ - DP = BD - \frac{1}{3}BD - \frac{1}{3}BD = \frac{1}{3}BD $$ Таким образом, мы доказали, что $BQ = QP = DP$.

Ответ: Утверждение доказано. Прямые $AM$ и $AN$ делят диагональ $BD$ на три равные части.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 724 расположенного на странице 187 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №724 (с. 187), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться