Номер 731, страница 188 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 731, страница 188.

731 Основание AD равнобедренной трапеции ABCD в 5 раз больше основания ВС. Высота ВН пересекает диагональ АС в точке М, площадь треугольника АМН равна 4 см². Найдите площадь трапеции ABCD.

Пусть длина меньшего основания трапеции $BC$ равна $x$. По условию, большее основание $AD$ в 5 раз больше, следовательно, $AD = 5x$.

Поскольку трапеция $ABCD$ равнобедренная, мы можем провести вторую высоту $CK$ из вершины $C$ на основание $AD$. В равнобедренной трапеции отрезки, отсекаемые высотами от вершин большего основания, равны, то есть $AH = KD$. Четырехугольник $BCKH$ является прямоугольником, так как его противоположные стороны параллельны ($BC || HK$) и углы при основании $AD$ прямые. Отсюда следует, что $HK = BC = x$.

Длина большего основания $AD$ складывается из длин трех отрезков: $AD = AH + HK + KD$. Заменив $KD$ на $AH$ и подставив известные значения, получим:$5x = AH + x + AH = 2 \cdot AH + x$$4x = 2 \cdot AH$$AH = 2x$

Рассмотрим треугольник $AMH$. Так как $BH$ является высотой трапеции, проведенной к основанию $AD$, угол $\angle MHA$ прямой и равен $90^\circ$. Следовательно, треугольник $AMH$ — прямоугольный. Его площадь вычисляется как половина произведения катетов:$S_{AMH} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot MH$Подставим известные значения: $S_{AMH} = 4$ см$^2$ и $AH = 2x$:$4 = \frac{1}{2} \cdot (2x) \cdot MH$$4 = x \cdot MH$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ACK$ (где $CK$ — высота, $\angle CKA = 90^\circ$). Поскольку высоты $BH$ и $CK$ обе перпендикулярны $AD$, они параллельны друг другу ($BH || CK$). Отрезок $HM$ является частью прямой $BH$, следовательно, $HM || CK$. Так как отрезок $HM$ соединяет стороны $AC$ и $AK$ треугольника $ACK$ и параллелен его третьей стороне $CK$, то треугольник $AHM$ подобен треугольнику $ACK$ ($\triangle AHM \sim \triangle ACK$).

Из подобия треугольников следует отношение пропорциональности их сторон:$\frac{MH}{CK} = \frac{AH}{AK}$Высота $CK$ равна высоте $BH$. Обозначим высоту трапеции как $h$, то есть $CK = BH = h$. Длина отрезка $AK = AH + HK = 2x + x = 3x$. Подставим эти выражения в пропорцию:$\frac{MH}{h} = \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}$Отсюда $MH = \frac{2}{3}h$.

Теперь мы можем объединить результаты. Из предыдущих шагов мы знаем, что $x \cdot MH = 4$. Подставим сюда выражение для $MH$:$x \cdot \left(\frac{2}{3}h\right) = 4$$\frac{2}{3}xh = 4$$xh = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6$

Площадь трапеции $ABCD$ находится по формуле:$S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot BH$Подставим наши обозначения $AD=5x$, $BC=x$ и $BH=h$:$S_{ABCD} = \frac{5x + x}{2} \cdot h = \frac{6x}{2} \cdot h = 3xh$Используя найденное значение $xh=6$, получаем:$S_{ABCD} = 3 \cdot 6 = 18$

Ответ: $18$ см$^2$.