Номер 735, страница 188 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Подобные треугольники. Параграф 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Дополнительные задачи - номер 735, страница 188.

Условие.

735 Постройте треугольник, если даны середины его сторон.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 11.

Для построения треугольника по заданным серединам его сторон, обозначим эти точки как M, N и P. Решение задачи основывается на свойстве средней линии треугольника.

Анализ и метод построения

Пусть M, N, P — середины сторон будущего треугольника $\triangle ABC$. Тогда отрезки, соединяющие эти точки (MN, NP, PM), являются средними линиями $\triangle ABC$. Основное свойство средней линии заключается в том, что она параллельна одной из сторон треугольника. Например, если P и N — середины сторон AB и AC, то средняя линия PN параллельна стороне BC.

Это свойство подсказывает алгоритм построения: каждая сторона искомого треугольника ABC будет проходить через одну из данных точек (M, N или P) и будет параллельна отрезку, соединяющему две другие данные точки.

• Сторона, содержащая вершину A, проходит через точку N и параллельна отрезку MP, а также через точку P и параллельна отрезку MN.
• Сторона, содержащая вершину B, проходит через точку P и параллельна отрезку MN, а также через точку M и параллельна отрезку NP.
• Сторона, содержащая вершину C, проходит через точку M и параллельна отрезку NP, а также через точку N и параллельна отрезку MP.

Вершины искомого треугольника A, B, C будут точками пересечения этих построенных прямых.

Пошаговое построение

1. Соедините данные точки M, N и P отрезками, чтобы получить вспомогательный треугольник $\triangle MNP$.
2. Через точку M проведите прямую, параллельную отрезку NP.
3. Через точку N проведите прямую, параллельную отрезку MP.
4. Через точку P проведите прямую, параллельную отрезку MN.
5. Точки пересечения этих трёх прямых образуют вершины искомого треугольника ABC.

Доказательство

Пусть $l_M$ — прямая, проходящая через M параллельно NP; $l_N$ — прямая, проходящая через N параллельно MP; $l_P$ — прямая, проходящая через P параллельно MN. По построению, вершины треугольника это: $A = l_N \cap l_P$, $B = l_M \cap l_P$ и $C = l_M \cap l_N$.

Рассмотрим четырехугольник ANMP. Его стороны AN и AP лежат на прямых $l_N$ и $l_P$. По определению этих прямых, $l_N \parallel MP$ и $l_P \parallel MN$. Таким образом, противолежащие стороны четырехугольника ANMP попарно параллельны ($AN \parallel MP$ и $AP \parallel NM$). Следовательно, ANMP — это параллелограмм.

Аналогично доказывается, что BPNM и CMPN — тоже параллелограммы.

Из свойств параллелограмма имеем:

• Из параллелограмма ANMP следует, что $AP = NM$.
• Из параллелограмма BPNM следует, что $PB = NM$.

Следовательно, $AP = PB$, что означает, что P — середина стороны AB.

Таким же образом, сравнивая параллелограммы ANMP и CMPN, получаем, что $AN = MP$ и $NC = MP$, откуда N - середина AC. Сравнивая BPNM и CMPN, получаем, что $BM = PN$ и $MC = PN$, откуда M - середина BC.

Таким образом, построенный $\triangle ABC$ является искомым. Задача имеет единственное решение, если данные три точки M, N, P не лежат на одной прямой.

Ответ: Для построения треугольника по трём данным серединам его сторон (M, N, P) необходимо через каждую из этих точек провести прямую, параллельную отрезку, соединяющему две другие точки. Точки пересечения этих трёх прямых являются вершинами искомого треугольника.