Номер 726, страница 188 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 726, страница 188.

726 В треугольнике ABC (AB ≠ АС) через середину стороны ВС проведена прямая, параллельная биссектрисе угла А, которая пересекает прямые AB и АС соответственно в точках D и Е. Докажите, что BD = CE.

Доказательство.

Для доказательства утверждения можно использовать разные подходы. Рассмотрим два из них.

Способ 1. С дополнительным построением.

1. Пусть $AL$ — биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$. По определению биссектрисы, $\angle BAL = \angle CAL$. Обозначим величину этих равных углов за $\alpha$.

2. По условию задачи, через середину $M$ стороны $BC$ проведена прямая $DE$ (где $D$ лежит на прямой $AB$, а $E$ — на прямой $AC$), параллельная биссектрисе $AL$.

3. Рассмотрим треугольник $ADE$. Поскольку $DE \parallel AL$, то при секущей $AB$ имеем $\angle ADE = \angle BAL = \alpha$ (как соответственные углы), а при секущей $AC$ имеем $\angle AED = \angle CAL = \alpha$ (также как соответственные углы). Так как в треугольнике $ADE$ два угла равны ($\angle ADE = \angle AED$), то он является равнобедренным с основанием $DE$. Следовательно, стороны, лежащие против этих углов, равны: $AD = AE$.

4. Проведем через вершину $C$ прямую, параллельную стороне $AB$, до ее пересечения с прямой $DE$ в точке $F$. Таким образом, по построению $CF \parallel AB$.

5. Рассмотрим треугольники $BDM$ и $CFM$. В них: $BM = CM$ (так как $M$ — середина $BC$ по условию), $\angle DMB = \angle FMC$ (как вертикальные углы), и $\angle MBD = \angle MCF$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CF$ и секущей $BC$). Следовательно, $\triangle BDM \cong \triangle CFM$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $BD = CF$.

6. Теперь рассмотрим треугольник $CFE$. Угол $\angle CEF$ совпадает с углом $\angle AED$ (или является вертикальным к нему), который, как мы показали в пункте 3, равен $\alpha$. Найдем угол $\angle CFE$. Так как по построению $CF \parallel AB$, то $CF \parallel AD$. Прямая $DE$ является секущей для этих параллельных прямых, поэтому $\angle CFE = \angle ADE$ (как накрест лежащие углы). Угол $\angle ADE$ также равен $\alpha$. Таким образом, в треугольнике $CFE$ два угла равны: $\angle CEF = \angle CFE = \alpha$. Это означает, что треугольник $CFE$ — равнобедренный, и $CE = CF$.

7. Сопоставляя результаты, полученные в пунктах 5 и 6, имеем: $BD = CF$ и $CE = CF$. Отсюда следует, что $BD = CE$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Способ 2. С использованием теоремы Менелая.

1. Аналогично первому способу, докажем, что треугольник $ADE$ является равнобедренным. Пусть $AL$ — биссектриса $\angle A$, тогда $\angle BAL = \angle CAL = \alpha$. Так как прямая $DE \parallel AL$, то, рассматривая секущие $AB$ и $AC$, получаем $\angle ADE = \angle BAL = \alpha$ и $\angle AED = \angle CAL = \alpha$ (как соответственные углы). Из равенства углов $\angle ADE = \angle AED$ следует, что треугольник $ADE$ равнобедренный, и $AD = AE$.

2. Рассмотрим треугольник $ABC$ и прямую $DME$ как секущую. Точки $D$, $M$, $E$ лежат на прямых, содержащих стороны треугольника ($AB$, $BC$, $AC$ соответственно). По теореме Менелая:$$ \frac{AD}{DB} \cdot \frac{BM}{MC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1 $$

3. По условию задачи, точка $M$ — середина стороны $BC$, поэтому $BM = MC$, и их отношение $\frac{BM}{MC} = 1$.

4. Подставим это значение в формулу Менелая:$$ \frac{AD}{DB} \cdot 1 \cdot \frac{CE}{EA} = 1 $$Это равенство можно переписать в виде:$$ \frac{AD}{DB} = \frac{EA}{CE} \implies AD \cdot CE = DB \cdot EA $$

5. В пункте 1 мы установили, что $AD = AE$. Заменим $EA$ на $AD$ в полученном равенстве:$$ AD \cdot CE = DB \cdot AD $$

6. Поскольку по условию $AB \neq AC$, треугольник $ABC$ не является равнобедренным, и его биссектриса $AL$ не является медианой. Следовательно, точка $M$ не лежит на $AL$. Так как прямая $DE$ проходит через $M$ и параллельна $AL$, она не может проходить через вершину $A$. Это означает, что точка $D$ не совпадает с $A$, и длина отрезка $AD \neq 0$. Поэтому мы можем разделить обе части равенства на $AD$.

7. В результате деления получаем: $CE = DB$. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.