Номер 722, страница 187 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 722, страница 187.

722 Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, содержащей его среднюю линию.

Пусть дан произвольный треугольник $\triangle ABC$. Рассмотрим одну из его средних линий, например, отрезок $MN$, где точка $M$ — середина стороны $AB$, а точка $N$ — середина стороны $AC$. Обозначим прямую, на которой лежит эта средняя линия, как $l$. Нам необходимо доказать, что вершины $A$, $B$ и $C$ находятся на одинаковом расстоянии от прямой $l$.

Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне. Таким образом, $MN \parallel BC$. Поскольку прямая $l$ содержит отрезок $MN$, то и вся прямая $l$ параллельна стороне $BC$ ($l \parallel BC$).

Так как прямые $l$ и $BC$ параллельны, все точки прямой $BC$ равноудалены от прямой $l$. Это означает, что расстояние от вершины $B$ до прямой $l$ равно расстоянию от вершины $C$ до прямой $l$.

Теперь определим расстояние от вершины $A$ до прямой $l$ и сравним его с расстоянием от вершин $B$ и $C$. Проведем из вершины $A$ высоту $AH$ к стороне $BC$. Так как $AH \perp BC$ и $l \parallel BC$, то высота $AH$ также будет перпендикулярна и прямой $l$. Пусть $K$ — точка пересечения высоты $AH$ и прямой $l$.

В этом случае, расстояние от вершины $A$ до прямой $l$ равно длине отрезка $AK$. Расстояние от любой точки на прямой $BC$ (включая вершины $B$ и $C$) до прямой $l$ равно длине отрезка $KH$. Таким образом, наша задача сводится к доказательству равенства $AK = KH$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABH$. Точка $M$ является серединой стороны $AB$ по построению. Отрезок $MK$ является частью прямой $l$, которая параллельна стороне $BC$, а значит, и отрезку $BH$, который лежит на прямой $BC$. Итак, в $\triangle ABH$ через середину стороны $AB$ проведена прямая $MK$, параллельная стороне $BH$.

По теореме Фалеса (или по свойству прямой, проходящей через середину одной из сторон треугольника параллельно другой стороне), такая прямая делит третью сторону пополам. В нашем случае прямая $MK$ делит сторону $AH$ в точке $K$ пополам. Следовательно, точка $K$ является серединой высоты $AH$, и $AK = KH$.

Таким образом, мы доказали, что расстояние от вершины $A$ до прямой $l$ ($AK$) равно расстоянию от вершин $B$ и $C$ до прямой $l$ ($KH$). Следовательно, все три вершины треугольника равноудалены от прямой, содержащей его среднюю линию.

Ответ: Утверждение доказано.