Номер 721, страница 187 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 721, страница 187.

721* Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции параллелен её основаниям и проходит через точку пересечения диагоналей. Найдите длину этого отрезка, если основания трапеции равны a и b.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Обозначим длины оснований как $AD = a$ и $BC = b$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Через точку $O$ проведен отрезок $MN$, параллельный основаниям, концы которого, $M$ и $N$, лежат на боковых сторонах $AB$ и $CD$ соответственно. Требуется найти длину отрезка $MN$.

Длина отрезка $MN$ является суммой длин отрезков $MO$ и $ON$, то есть $MN = MO + ON$. Найдем длины этих отрезков по отдельности.

1. Нахождение длины $MO$

Рассмотрим треугольник $ABD$. Поскольку $MO \parallel AD$ по условию, треугольник $BMO$ подобен треугольнику $BDA$ по двум углам (угол при вершине $B$ у них общий, а углы $\angle BMO$ и $\angle BAD$ равны как соответственные при параллельных прямых $MO$ и $AD$ и секущей $AB$).

Из подобия треугольников следует соотношение сторон:

$\frac{MO}{AD} = \frac{BO}{BD}$

Подставив $AD = a$, получаем:

$MO = a \cdot \frac{BO}{BD}$

2. Нахождение длины $ON$

Рассмотрим треугольник $ACD$. Поскольку $ON \parallel AD$ (так как $MN \parallel AD$), треугольник $CNO$ подобен треугольнику $CDA$ по двум углам (угол при вершине $C$ общий, а углы $\angle CNO$ и $\angle CDA$ равны как соответственные при параллельных прямых $ON$ и $AD$ и секущей $CD$).

Из подобия треугольников следует соотношение сторон:

$\frac{ON}{AD} = \frac{CO}{CA}$

Подставив $AD = a$, получаем:

$ON = a \cdot \frac{CO}{CA}$

3. Нахождение соотношений для сторон диагоналей

Чтобы найти $MO$ и $ON$, нам нужно определить отношения $\frac{BO}{BD}$ и $\frac{CO}{CA}$. Для этого рассмотрим пару треугольников, образованных пересечением диагоналей.

Треугольники $AOD$ и $COB$ подобны друг другу по трем углам: $\angle AOD = \angle COB$ как вертикальные, а остальные углы равны как накрест лежащие при параллельных основаниях $AD$ и $BC$ и секущих $AC$ и $BD$.

Из подобия $\triangle AOD \sim \triangle COB$ следует:

$\frac{AO}{CO} = \frac{DO}{BO} = \frac{AD}{CB} = \frac{a}{b}$

Из соотношения $\frac{AO}{CO} = \frac{a}{b}$ найдем отношение $\frac{CO}{CA}$. Имеем $AO = \frac{a}{b}CO$. Тогда вся диагональ $AC = AO + CO = \frac{a}{b}CO + CO = CO\left(\frac{a}{b} + 1\right) = CO\frac{a+b}{b}$.

Отсюда получаем:

$\frac{CO}{CA} = \frac{b}{a+b}$

Аналогично из $\frac{DO}{BO} = \frac{a}{b}$ найдем $\frac{BO}{BD}$. Имеем $DO = \frac{a}{b}BO$. Вся диагональ $BD = BO + DO = BO + \frac{a}{b}BO = BO\left(1 + \frac{a}{b}\right) = BO\frac{a+b}{b}$.

Отсюда получаем:

$\frac{BO}{BD} = \frac{b}{a+b}$

4. Вычисление длины $MN$

Теперь подставим найденные отношения в формулы для $MO$ и $ON$:

$MO = a \cdot \frac{BO}{BD} = a \cdot \frac{b}{a+b} = \frac{ab}{a+b}$

$ON = a \cdot \frac{CO}{CA} = a \cdot \frac{b}{a+b} = \frac{ab}{a+b}$

Как видим, $MO=ON$, то есть точка пересечения диагоналей делит искомый отрезок пополам.

Итоговая длина отрезка $MN$ равна:

$MN = MO + ON = \frac{ab}{a+b} + \frac{ab}{a+b} = \frac{2ab}{a+b}$

Длина этого отрезка является средним гармоническим длин оснований трапеции.

Ответ: $\frac{2ab}{a+b}$