Номер 725, страница 187 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 725, страница 187.

725 Биссектриса внешнего угла при вершине А треугольника ABC пересекает прямую ВС в точке D. Докажите, что BDAB = DCAC.

Это утверждение известно как теорема о биссектрисе внешнего угла треугольника. Докажем его, используя метод площадей.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$ внешнего угла при вершине $A$, которая пересекает прямую $BC$ в точке $D$.

Рассмотрим отношение площадей треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$.

1. С одной стороны, отношение площадей этих треугольников равно отношению их оснований $BD$ и $DC$, так как они имеют общую высоту, проведенную из вершины $A$ к прямой $BC$. Обозначим эту высоту $h_A$.

$ \frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot BD \cdot h_A}{\frac{1}{2} \cdot DC \cdot h_A} = \frac{BD}{DC} $

2. С другой стороны, выразим площади этих же треугольников через произведение двух сторон и синус угла между ними:

$S_{ABD} = \frac{1}{2} AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD)$

$S_{ACD} = \frac{1}{2} AC \cdot AD \cdot \sin(\angle CAD)$

Тогда их отношение равно:

$ \frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{\frac{1}{2} AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD)}{\frac{1}{2} AC \cdot AD \cdot \sin(\angle CAD)} = \frac{AB}{AC} \cdot \frac{\sin(\angle BAD)}{\sin(\angle CAD)} $

3. Докажем, что $\sin(\angle BAD) = \sin(\angle CAD)$.

Пусть $E$ — точка на продолжении стороны $CA$ за вершину $A$. Тогда $\angle EAB$ — это внешний угол при вершине $A$. По условию, $AD$ — его биссектриса, значит $\angle EAD = \angle DAB$.

Углы $\angle EAB$ и $\angle CAB$ — смежные, их сумма равна $180^\circ$.

$\angle EAB + \angle CAB = 180^\circ$

Поскольку $\angle EAB = 2\angle DAB$, то $2\angle DAB + \angle CAB = 180^\circ$, откуда $\angle CAB = 180^\circ - 2\angle DAB$.

Угол $\angle CAD$ состоит из углов $\angle CAB$ и $\angle DAB$:

$\angle CAD = \angle CAB + \angle DAB = (180^\circ - 2\angle DAB) + \angle DAB = 180^\circ - \angle DAB$.

Таким образом, углы $\angle CAD$ и $\angle DAB$ в сумме дают $180^\circ$. Синусы углов, сумма которых равна $180^\circ$, равны:

$\sin(\angle CAD) = \sin(180^\circ - \angle DAB) = \sin(\angle DAB)$.

4. Подставим это равенство в выражение для отношения площадей из пункта 2:

$ \frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{AB}{AC} \cdot \frac{\sin(\angle BAD)}{\sin(\angle CAD)} = \frac{AB}{AC} \cdot 1 = \frac{AB}{AC} $

5. Теперь приравняем два полученных выражения для отношения площадей (из пунктов 1 и 4):

$ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} $

Перегруппировав члены пропорции, получаем требуемое равенство:

$ \frac{BD}{AB} = \frac{DC}{AC} $

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Для биссектрисы $AD$ внешнего угла при вершине $A$ треугольника $ABC$, пересекающей прямую $BC$ в точке $D$, справедливо равенство $\frac{BD}{AB} = \frac{DC}{AC}$.