Номер 16, страница 186 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: синий

ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 7 классе

Вопросы для повторения к главе 8. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 16, страница 186.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№16 (с. 186)
Условие. №16 (с. 186)
скриншот условия
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 186, номер 16, Условие

16 Докажите, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

Решение 2. №16 (с. 186)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 186, номер 16, Решение 2
Решение 4. №16 (с. 186)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 186, номер 16, Решение 4
Решение 11. №16 (с. 186)

Для доказательства рассмотрим два произвольных прямоугольных треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Пусть их прямые углы будут $\angle C = 90^\circ$ и $\angle C_1 = 90^\circ$.

По условию задачи, один из острых углов первого треугольника равен острому углу второго. Пусть это будут углы $\angle A$ и $\angle A_1$. Обозначим их градусную меру через $\alpha$, то есть $\angle A = \angle A_1 = \alpha$.

Поскольку у треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ есть два соответственно равных угла ($\angle A = \angle A_1$ по условию и $\angle C = \angle C_1$ как прямые углы), эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Из подобия треугольников ($\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$) следует, что отношения их соответственных сторон равны. Введем обозначения для сторон:

  • В $\triangle ABC$: $a = BC$ (катет, противолежащий углу $\alpha$), $b = AC$ (катет, прилежащий к углу $\alpha$), $c = AB$ (гипотенуза).
  • В $\triangle A_1B_1C_1$: $a_1 = B_1C_1$ (катет, противолежащий углу $\alpha$), $b_1 = A_1C_1$ (катет, прилежащий к углу $\alpha$), $c_1 = A_1B_1$ (гипотенуза).

Пропорциональность сторон означает: $$ \frac{a}{a_1} = \frac{b}{b_1} = \frac{c}{c_1} $$

Теперь докажем равенство тригонометрических функций для угла $\alpha$.

синусы этих углов равны

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Для $\triangle ABC$: $ \sin(\alpha) = \sin(\angle A) = \frac{a}{c} $.

Для $\triangle A_1B_1C_1$: $ \sin(\alpha) = \sin(\angle A_1) = \frac{a_1}{c_1} $.

Рассмотрим равенство из пропорции: $ \frac{a}{a_1} = \frac{c}{c_1} $. По основному свойству пропорции (крайние члены равны произведению средних, или, что эквивалентно, можно поменять местами средние члены), получаем: $ \frac{a}{c} = \frac{a_1}{c_1} $.

Следовательно, $ \sin(\angle A) = \sin(\angle A_1) $, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство синусов доказано.

косинусы этих углов равны

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Для $\triangle ABC$: $ \cos(\alpha) = \cos(\angle A) = \frac{b}{c} $.

Для $\triangle A_1B_1C_1$: $ \cos(\alpha) = \cos(\angle A_1) = \frac{b_1}{c_1} $.

Рассмотрим равенство из пропорции: $ \frac{b}{b_1} = \frac{c}{c_1} $. Преобразовав его, получаем: $ \frac{b}{c} = \frac{b_1}{c_1} $.

Следовательно, $ \cos(\angle A) = \cos(\angle A_1) $, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство косинусов доказано.

тангенсы этих углов равны

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему.

Для $\triangle ABC$: $ \tan(\alpha) = \tan(\angle A) = \frac{a}{b} $.

Для $\triangle A_1B_1C_1$: $ \tan(\alpha) = \tan(\angle A_1) = \frac{a_1}{b_1} $.

Рассмотрим равенство из пропорции: $ \frac{a}{a_1} = \frac{b}{b_1} $. Преобразовав его, получаем: $ \frac{a}{b} = \frac{a_1}{b_1} $.

Следовательно, $ \tan(\angle A) = \tan(\angle A_1) $, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство тангенсов доказано.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 16 расположенного на странице 186 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №16 (с. 186), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться