Номер 16, страница 186 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
Вопросы для повторения к главе 8. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 16, страница 186.
№16 (с. 186)
Условие. №16 (с. 186)
скриншот условия

16 Докажите, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.
Решение 2. №16 (с. 186)

Решение 4. №16 (с. 186)

Решение 11. №16 (с. 186)
Для доказательства рассмотрим два произвольных прямоугольных треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Пусть их прямые углы будут $\angle C = 90^\circ$ и $\angle C_1 = 90^\circ$.
По условию задачи, один из острых углов первого треугольника равен острому углу второго. Пусть это будут углы $\angle A$ и $\angle A_1$. Обозначим их градусную меру через $\alpha$, то есть $\angle A = \angle A_1 = \alpha$.
Поскольку у треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ есть два соответственно равных угла ($\angle A = \angle A_1$ по условию и $\angle C = \angle C_1$ как прямые углы), эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам).
Из подобия треугольников ($\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$) следует, что отношения их соответственных сторон равны. Введем обозначения для сторон:
- В $\triangle ABC$: $a = BC$ (катет, противолежащий углу $\alpha$), $b = AC$ (катет, прилежащий к углу $\alpha$), $c = AB$ (гипотенуза).
- В $\triangle A_1B_1C_1$: $a_1 = B_1C_1$ (катет, противолежащий углу $\alpha$), $b_1 = A_1C_1$ (катет, прилежащий к углу $\alpha$), $c_1 = A_1B_1$ (гипотенуза).
Пропорциональность сторон означает: $$ \frac{a}{a_1} = \frac{b}{b_1} = \frac{c}{c_1} $$
Теперь докажем равенство тригонометрических функций для угла $\alpha$.
синусы этих углов равны
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Для $\triangle ABC$: $ \sin(\alpha) = \sin(\angle A) = \frac{a}{c} $.
Для $\triangle A_1B_1C_1$: $ \sin(\alpha) = \sin(\angle A_1) = \frac{a_1}{c_1} $.
Рассмотрим равенство из пропорции: $ \frac{a}{a_1} = \frac{c}{c_1} $. По основному свойству пропорции (крайние члены равны произведению средних, или, что эквивалентно, можно поменять местами средние члены), получаем: $ \frac{a}{c} = \frac{a_1}{c_1} $.
Следовательно, $ \sin(\angle A) = \sin(\angle A_1) $, что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство синусов доказано.
косинусы этих углов равны
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Для $\triangle ABC$: $ \cos(\alpha) = \cos(\angle A) = \frac{b}{c} $.
Для $\triangle A_1B_1C_1$: $ \cos(\alpha) = \cos(\angle A_1) = \frac{b_1}{c_1} $.
Рассмотрим равенство из пропорции: $ \frac{b}{b_1} = \frac{c}{c_1} $. Преобразовав его, получаем: $ \frac{b}{c} = \frac{b_1}{c_1} $.
Следовательно, $ \cos(\angle A) = \cos(\angle A_1) $, что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство косинусов доказано.
тангенсы этих углов равны
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему.
Для $\triangle ABC$: $ \tan(\alpha) = \tan(\angle A) = \frac{a}{b} $.
Для $\triangle A_1B_1C_1$: $ \tan(\alpha) = \tan(\angle A_1) = \frac{a_1}{b_1} $.
Рассмотрим равенство из пропорции: $ \frac{a}{a_1} = \frac{b}{b_1} $. Преобразовав его, получаем: $ \frac{a}{b} = \frac{a_1}{b_1} $.
Следовательно, $ \tan(\angle A) = \tan(\angle A_1) $, что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство тангенсов доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 16 расположенного на странице 186 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №16 (с. 186), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.