Страница 186 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

12 Приведите пример решения задачи на построение методом подобия.

Метод подобия — один из основных методов решения задач на построение. Его суть заключается в следующем:

• Сначала строят фигуру, подобную искомой, используя те данные, которые определяют форму фигуры (например, углы или отношения сторон). При этом игнорируют данные, определяющие размеры фигуры (длины отрезков).
• Затем, используя оставшиеся данные (о длине), строят искомую фигуру. Обычно это делается с помощью гомотетии (преобразования подобия) или путем пересчета размеров и построения фигуры нужного размера.

Рассмотрим применение этого метода на конкретной задаче.

Задача: Построить треугольник по двум углам и высоте, проведенной из вершины третьего угла.

Дано:

• Два угла: $\alpha$ и $\beta$.
• Отрезок $h_c$, равный высоте, проведенной к стороне, прилежащей к этим углам.

Построить: Треугольник $ABC$ такой, что $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$, и высота $CH = h_c$, где $H$ — основание высоты на стороне $AB$.

Анализ. Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. В нем $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$ и высота $CH = h_c$.

Заметим, что форма треугольника полностью определяется его углами. Все треугольники с углами $\alpha$ и $\beta$ подобны друг другу. Это ключевая идея для применения метода подобия.

Мы можем сначала построить любой треугольник $A'B'C'$, подобный искомому. Для этого достаточно, чтобы у него были углы $\angle A' = \alpha$ и $\angle B' = \beta$. Мы можем выбрать для этого произвольный отрезок в качестве стороны $A'B'$.

Построив такой вспомогательный треугольник $A'B'C'$, мы можем провести в нем высоту $C'H'$ из вершины $C'$ к стороне $A'B'$.

Искомый треугольник $ABC$ и построенный $A'B'C'$ подобны. Следовательно, отношение их соответствующих элементов равно коэффициенту подобия $k$:

$\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'} = \frac{CH}{C'H'} = k$

Из условия задачи мы знаем длину высоты $CH = h_c$. Длину высоты $C'H'$ мы можем измерить в нашем вспомогательном построении. Таким образом, мы можем найти коэффициент подобия: $k = \frac{h_c}{C'H'}$.

Зная коэффициент подобия, мы можем построить искомый треугольник. Один из способов — это выполнить преобразование гомотетии с центром в точке $C'$ и коэффициентом $k$. Точка $A$ будет образом точки $A'$, а точка $B$ — образом точки $B'$. Треугольник $ABC$ будет искомым.

Построение.

1. Проведем произвольную прямую $m$.
2. Построим вспомогательный треугольник $A'B'C'$:
   • На прямой $m$ выберем произвольную точку $A'$ и отложим от нее произвольный отрезок $A'B'$.
   • В точке $A'$ построим угол, равный данному углу $\alpha$.
   • В точке $B'$ построим угол, равный данному углу $\beta$, так, чтобы лучи углов пересеклись. Точку их пересечения обозначим $C'$.
   • Получили треугольник $A'B'C'$, который подобен искомому.
3. Проведем высоту $C'H'$ в треугольнике $A'B'C'$ из вершины $C'$ на прямую $m$.
4. На луче $C'H'$ отложим от точки $C'$ отрезок $CH$, равный данной высоте $h_c$.
5. Через точку $H$ проведем прямую $n$, параллельную прямой $m$.
6. Прямая $n$ пересечет лучи $C'A'$ и $C'B'$ в точках $A$ и $B$ соответственно.
7. Треугольник $ABC$ является искомым.

Ответ: Построенный треугольник $ABC$ является решением задачи.

Доказательство. Нужно доказать, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

По построению, прямая $AB$ (прямая $n$) параллельна прямой $A'B'$ (прямая $m$).

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A'B'C'$. Они подобны, так как прямая $AB$ параллельна $A'B'$ и отсекает от углов с вершиной $C'$ треугольник, подобный исходному. Из подобия следует равенство углов: $\angle A = \angle A'$ и $\angle B = \angle B'$.

По построению, $\angle A' = \alpha$ и $\angle B' = \beta$. Следовательно, в построенном треугольнике $ABC$ углы $\angle A = \alpha$ и $\angle B = \beta$. Первые два условия выполнены.

Рассмотрим отрезок $CH$. По построению, точка $H$ лежит на прямой $AB$, а точка $C$ совпадает с $C'$. Отрезок $CH$ лежит на прямой $C'H'$, которая перпендикулярна прямой $m$ ($A'B'$). Так как $n \parallel m$, то $C'H' \perp n$. Значит, $CH$ является высотой треугольника $ABC$, проведенной к стороне $AB$. Длина этой высоты по построению равна $h_c$. Третье условие также выполнено.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ является искомым.

Исследование. Задача имеет решение тогда и только тогда, когда из заданных углов можно составить треугольник. Это возможно, если сумма данных углов меньше $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta < 180^\circ$. Также необходимо, чтобы длина высоты была положительным числом, $h_c > 0$.

Если эти условия выполнены, то построение вспомогательного треугольника $A'B'C'$ всегда возможно. Дальнейшие шаги построения также всегда выполнимы и однозначны. Все треугольники, построенные по заданным углам, подобны. Масштабирование с помощью заданной высоты приводит к единственному (с точностью до конгруэнтности) решению.

Ответ: Задача имеет единственное решение, если $\alpha > 0$, $\beta > 0$, $\alpha + \beta < 180^\circ$ и $h_c > 0$. В противном случае задача решений не имеет.

13 Расскажите, как определить на местности высоту предмета и расстояние до недоступной точки.

Определение высоты предмета

Существует несколько практических способов определения высоты предмета (например, дерева, здания или столба) на местности, которые основаны на применении геометрических принципов, в частности, на подобии треугольников и тригонометрических функциях.

Способ 1: По длине тени (в солнечный день)

Этот метод использует свойство подобия треугольников, которые образуются предметом и его тенью, а также эталонным предметом и его тенью.

1. Возьмите предмет с известной высотой, например, шест или палку, и установите его строго вертикально. Обозначим его высоту как $h$.
2. Измерьте длину тени, отбрасываемой этим шестом. Обозначим ее как $l$.
3. Затем измерьте длину тени, которую отбрасывает интересующий вас высокий предмет (например, дерево). Обозначим эту длину как $L$.
4. Поскольку солнечные лучи падают на землю под одним и тем же углом, образуются два подобных прямоугольных треугольника. Из их подобия следует пропорция: отношение высоты предмета к длине его тени одинаково для обоих объектов.

$\frac{H}{L} = \frac{h}{l}$

Из этой пропорции можно выразить искомую высоту $H$:

$H = \frac{h \cdot L}{l}$

Способ 2: С помощью измерения угла (тригонометрический метод)

Для этого способа понадобится прибор для измерения углов, например, простейший эклиметр, который можно сделать из транспортира, нитки и грузика.

1. Отойдите от основания измеряемого предмета на такое расстояние, чтобы его вершина была хорошо видна. Измерьте это расстояние ($d$) с помощью рулетки, дальномера или шагами.
2. С этой точки, используя эклиметр, измерьте угол $\alpha$ между горизонтальной линией на уровне ваших глаз и направлением на вершину предмета.
3. Рассматривая прямоугольный треугольник, где один катет — это расстояние $d$, а второй — высота предмета над уровнем ваших глаз, можно использовать тангенс угла $\alpha$.
4. Чтобы найти полную высоту предмета ($H$), необходимо к вычисленной высоте прибавить высоту от земли до уровня ваших глаз ($h_{глаз}$).

Формула для расчета имеет вид:

$H = d \cdot \tan(\alpha) + h_{глаз}$

Ответ: Высоту предмета на местности можно определить, используя метод подобия треугольников (сравнивая тень предмета с тенью от объекта известной высоты) или тригонометрический метод (измерив расстояние до предмета и угол возвышения его вершины, а затем применив тригонометрические функции).

Определение расстояния до недоступной точки

Чтобы определить расстояние до точки, к которой невозможно подойти напрямую (например, до объекта на другом берегу реки или на вершине горы), используется метод триангуляции. Он заключается в построении воображаемого треугольника и вычислении его элементов.

Способ 1: Построение произвольного треугольника (по стороне и двум углам)

Это наиболее общий и широко применимый метод.

1. Пусть $C$ — недоступная точка. На доступной вам территории выберите две точки $A$ и $B$ так, чтобы из них была видна точка $C$.
2. Измерьте расстояние между точками $A$ и $B$. Эта линия $AB$ называется базисом, ее длина обозначается как $b$.
3. Находясь в точке $A$, с помощью угломерного прибора (компаса, теодолита) измерьте угол $\alpha$ между направлениями на точку $B$ и на недоступную точку $C$ (то есть, $\angle CAB$).
4. Переместитесь в точку $B$ и аналогично измерьте угол $\beta$ между направлениями на точку $A$ и на точку $C$ (то есть, $\angle CBA$).
5. Теперь у вас есть треугольник $ABC$, в котором известна сторона $b$ и два прилегающих к ней угла $\alpha$ и $\beta$. Третий угол $\gamma$ при вершине $C$ легко найти: $\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.
6. Используя теорему синусов, можно вычислить длины двух других сторон треугольника, которые и являются искомыми расстояниями $AC$ и $BC$.

$\frac{AC}{\sin(\beta)} = \frac{BC}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\gamma)}$

Например, расстояние от точки $A$ до недоступной точки $C$ вычисляется так:

$AC = \frac{b \cdot \sin(\beta)}{\sin(\gamma)} = \frac{b \cdot \sin(\beta)}{\sin(180^\circ - \alpha - \beta)}$

Способ 2: Построение прямоугольного треугольника

Это частный, но более простой случай предыдущего метода.

1. Найдите на своем берегу точку $A$, расположенную прямо напротив недоступной точки $C$ так, чтобы линия $AC$ была перпендикулярна берегу (или выбранному направлению).
2. От точки $A$ отложите вдоль перпендикулярной линии известное расстояние до точки $B$. Измерьте эту дистанцию $AB = b$.
3. В точке $B$ измерьте угол $\beta$ между линией $BA$ и направлением на точку $C$ ($\angle ABC$).
4. В результате вы получаете прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом в вершине $A$.
5. Искомое расстояние $AC$ можно легко найти через тангенс угла $\beta$:

$\tan(\beta) = \frac{AC}{AB} = \frac{AC}{b}$

Отсюда расстояние до недоступной точки $C$ равно:

$AC = b \cdot \tan(\beta)$

Ответ: Расстояние до недоступной точки определяется путем построения на местности треугольника, где эта точка является одной из вершин. Измерив длину одной из сторон треугольника (базис) на доступной территории и углы, можно вычислить искомое расстояние с помощью тригонометрических соотношений, таких как теорема синусов или определение тангенса в прямоугольном треугольнике.

14 Объясните, какие две фигуры называются подобными. Что такое коэффициент подобия фигур?

Какие две фигуры называются подобными

Две геометрические фигуры называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия. Преобразование подобия — это такое преобразование, при котором расстояния между любыми двумя точками изменяются в одно и то же число раз.

Проще говоря, две фигуры подобны, если они имеют одинаковую форму, но могут различаться размерами. Одну подобную фигуру можно получить из другой путем равномерного увеличения или уменьшения (масштабирования), возможно, с последующим перемещением, поворотом или зеркальным отражением.

Например, для многоугольников это означает, что у подобных многоугольников соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Если есть два подобных треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, то у них будут равны соответствующие углы:
$\angle A = \angle A_1, \angle B = \angle B_1, \angle C = \angle C_1$
А их соответствующие стороны будут пропорциональны:
$\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{A_1C_1}{AC}$

Любые два квадрата подобны друг другу. Любые два круга также подобны.

Ответ: Две фигуры называются подобными, если они имеют одинаковую форму, но не обязательно одинаковый размер. Это означает, что одну фигуру можно получить из другой с помощью преобразования подобия (растяжения или сжатия, а также движения).

Что такое коэффициент подобия фигур

Коэффициент подобия — это число $k$, которое показывает, во сколько раз стороны (и другие линейные размеры) одной фигуры больше соответствующих сторон другой подобной ей фигуры. Коэффициент подобия всегда является положительным числом ($k > 0$).

Если фигура $F_1$ подобна фигуре $F$, то для любых двух соответствующих точек $X$ и $Y$ в фигуре $F$ и $X_1$, $Y_1$ в фигуре $F_1$ выполняется соотношение: $X_1Y_1 = k \cdot XY$, где $k$ — коэффициент подобия.

Для упомянутых выше подобных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ коэффициент подобия $k$ равен отношению длин соответствующих сторон:
$k = \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{A_1C_1}{AC}$

В зависимости от значения коэффициента подобия $k$:

• Если $k > 1$, то происходит увеличение фигуры.
• Если $0 < k < 1$, то происходит уменьшение фигуры.
• Если $k = 1$, то фигуры равны (конгруэнтны).

Важно отметить, что отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия ($\frac{S_1}{S} = k^2$), а отношение объемов (для трехмерных фигур) — кубу коэффициента подобия ($\frac{V_1}{V} = k^3$).

Ответ: Коэффициент подобия — это положительное число, равное отношению длин соответствующих линейных элементов (например, сторон) подобных фигур.

15 Что называется синусом, косинусом, тангенсом острого угла прямоугольного треугольника?

Для определения синуса, косинуса и тангенса рассмотрим прямоугольный треугольник и один из его острых углов, который обозначим $\alpha$. В этом треугольнике стороны имеют специальные названия в зависимости от их расположения относительно угла $\alpha$:

• Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла (самая длинная).
• Противолежащий катет — катет, который находится напротив угла $\alpha$.
• Прилежащий катет — катет, который является одной из сторон угла $\alpha$.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы.

$\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$

Ответ: Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы.

$\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$

Ответ: Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета.

$\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}$

Также тангенс можно определить как отношение синуса того же угла к его косинусу:

$\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$

Ответ: Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

16 Докажите, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

Для доказательства рассмотрим два произвольных прямоугольных треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Пусть их прямые углы будут $\angle C = 90^\circ$ и $\angle C_1 = 90^\circ$.

По условию задачи, один из острых углов первого треугольника равен острому углу второго. Пусть это будут углы $\angle A$ и $\angle A_1$. Обозначим их градусную меру через $\alpha$, то есть $\angle A = \angle A_1 = \alpha$.

Поскольку у треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ есть два соответственно равных угла ($\angle A = \angle A_1$ по условию и $\angle C = \angle C_1$ как прямые углы), эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Из подобия треугольников ($\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$) следует, что отношения их соответственных сторон равны. Введем обозначения для сторон:

• В $\triangle ABC$: $a = BC$ (катет, противолежащий углу $\alpha$), $b = AC$ (катет, прилежащий к углу $\alpha$), $c = AB$ (гипотенуза).
• В $\triangle A_1B_1C_1$: $a_1 = B_1C_1$ (катет, противолежащий углу $\alpha$), $b_1 = A_1C_1$ (катет, прилежащий к углу $\alpha$), $c_1 = A_1B_1$ (гипотенуза).

Пропорциональность сторон означает: $$ \frac{a}{a_1} = \frac{b}{b_1} = \frac{c}{c_1} $$

Теперь докажем равенство тригонометрических функций для угла $\alpha$.

синусы этих углов равны

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Для $\triangle ABC$: $ \sin(\alpha) = \sin(\angle A) = \frac{a}{c} $.

Для $\triangle A_1B_1C_1$: $ \sin(\alpha) = \sin(\angle A_1) = \frac{a_1}{c_1} $.

Рассмотрим равенство из пропорции: $ \frac{a}{a_1} = \frac{c}{c_1} $. По основному свойству пропорции (крайние члены равны произведению средних, или, что эквивалентно, можно поменять местами средние члены), получаем: $ \frac{a}{c} = \frac{a_1}{c_1} $.

Следовательно, $ \sin(\angle A) = \sin(\angle A_1) $, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство синусов доказано.

косинусы этих углов равны

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Для $\triangle ABC$: $ \cos(\alpha) = \cos(\angle A) = \frac{b}{c} $.

Для $\triangle A_1B_1C_1$: $ \cos(\alpha) = \cos(\angle A_1) = \frac{b_1}{c_1} $.

Рассмотрим равенство из пропорции: $ \frac{b}{b_1} = \frac{c}{c_1} $. Преобразовав его, получаем: $ \frac{b}{c} = \frac{b_1}{c_1} $.

Следовательно, $ \cos(\angle A) = \cos(\angle A_1) $, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство косинусов доказано.

тангенсы этих углов равны

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к прилежащему.

Для $\triangle ABC$: $ \tan(\alpha) = \tan(\angle A) = \frac{a}{b} $.

Для $\triangle A_1B_1C_1$: $ \tan(\alpha) = \tan(\angle A_1) = \frac{a_1}{b_1} $.

Рассмотрим равенство из пропорции: $ \frac{a}{a_1} = \frac{b}{b_1} $. Преобразовав его, получаем: $ \frac{a}{b} = \frac{a_1}{b_1} $.

Следовательно, $ \tan(\angle A) = \tan(\angle A_1) $, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство тангенсов доказано.

17 Какое равенство называют основным тригонометрическим тождеством?

Основным тригонометрическим тождеством называют равенство, которое связывает квадрат синуса и квадрат косинуса одного и того же угла. Это тождество справедливо для любого угла $\alpha$.

Формула основного тригонометрического тождества выглядит так:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

Происхождение и доказательство

Данное тождество является прямым следствием теоремы Пифагора. Его легко доказать с помощью единичной окружности в декартовой системе координат.

1. Рассмотрим окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = 1$. Уравнение такой окружности: $x^2 + y^2 = R^2$, что в нашем случае равно $x^2 + y^2 = 1$.

2. Возьмем на окружности произвольную точку $P(x, y)$. Эта точка соответствует некоторому углу $\alpha$, который образует радиус-вектор $OP$ с положительным направлением оси абсцисс $Ox$.

3. По определению тригонометрических функций на единичной окружности, абсцисса $x$ точки $P$ равна косинусу угла $\alpha$, а её ордината $y$ — синусу угла $\alpha$:
$x = \cos\alpha$
$y = \sin\alpha$

4. Теперь подставим эти выражения для $x$ и $y$ в уравнение окружности $x^2 + y^2 = 1$:
$(\cos\alpha)^2 + (\sin\alpha)^2 = 1$

Для удобства записи квадраты тригонометрических функций принято писать без скобок, $\cos^2\alpha$ и $\sin^2\alpha$. Таким образом, мы получаем итоговое тождество.

Значение тождества

Это тождество является фундаментальным в тригонометрии, поскольку оно устанавливает неразрывную связь между синусом и косинусом. Благодаря ему можно, зная значение одной из этих функций, найти значение другой (учитывая знак, который зависит от координатной четверти угла). Оно также широко используется для упрощения тригонометрических выражений и доказательства других тождеств.

Ответ: Основным тригонометрическим тождеством называют равенство $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

18 Чему равны значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60°? Ответ обоснуйте.

Для нахождения значений синуса, косинуса и тангенса для указанных углов мы воспользуемся геометрическим методом, рассматривая прямоугольные треугольники с этими углами.

Угол 30°

Для нахождения тригонометрических значений углов 30° и 60° рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$. Все его углы равны $60^\circ$. Проведем высоту $BH$ к стороне $AC$. В равностороннем треугольнике высота является также медианой и биссектрисой. Следовательно, треугольник $ABH$ — прямоугольный ($\angle AHB = 90^\circ$), $AH = \frac{a}{2}$ (так как $BH$ — медиана), и $\angle ABH = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$.

Найдем длину высоты $BH$ по теореме Пифагора из треугольника $ABH$:
$BH^2 = AB^2 - AH^2 = a^2 - (\frac{a}{2})^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$
Отсюда $BH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Теперь найдем значения для угла $30^\circ$ ($\angle ABH$). Противолежащий катет — это $AH$, прилежащий катет — $BH$, гипотенуза — $AB$.

• Синус — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
  $\sin(30^\circ) = \frac{AH}{AB} = \frac{a/2}{a} = \frac{1}{2}$
• Косинус — это отношение прилежащего катета к гипотенузе:
  $\cos(30^\circ) = \frac{BH}{AB} = \frac{a\sqrt{3}/2}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• Тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему:
  $\tan(30^\circ) = \frac{AH}{BH} = \frac{a/2}{a\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Угол 45°

Для нахождения тригонометрических значений угла $45^\circ$ рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. В таком треугольнике острые углы равны: $\angle A = \angle B = \frac{180^\circ - 90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Пусть катеты $AC$ и $BC$ равны $a$. Тогда $AC = BC = a$.

Найдем гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора:
$AB^2 = AC^2 + BC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$
Отсюда $AB = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Теперь найдем значения для угла $45^\circ$ (например, угла $A$). Противолежащий катет — $BC$, прилежащий катет — $AC$, гипотенуза — $AB$.

• Синус — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
  $\sin(45^\circ) = \frac{BC}{AB} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• Косинус — это отношение прилежащего катета к гипотенузе:
  $\cos(45^\circ) = \frac{AC}{AB} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• Тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему:
  $\tan(45^\circ) = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{a} = 1$

Ответ: $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\tan(45^\circ) = 1$.

Угол 60°

Воспользуемся тем же равносторонним треугольником $ABC$ и прямоугольным треугольником $ABH$, который мы рассматривали для угла $30^\circ$.

В треугольнике $ABH$ угол $\angle BAH = 60^\circ$. Его стороны: гипотенуза $AB = a$, катет $AH = \frac{a}{2}$ (прилежащий к углу $60^\circ$) и катет $BH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ (противолежащий углу $60^\circ$).

• Синус — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
  $\sin(60^\circ) = \frac{BH}{AB} = \frac{a\sqrt{3}/2}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• Косинус — это отношение прилежащего катета к гипотенузе:
  $\cos(60^\circ) = \frac{AH}{AB} = \frac{a/2}{a} = \frac{1}{2}$
• Тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему:
  $\tan(60^\circ) = \frac{BH}{AH} = \frac{a\sqrt{3}/2}{a/2} = \sqrt{3}$

Ответ: $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.

710 Треугольники ABC и А₁В₁С₁ подобны, AB = 6 см, ВС = 9 см, СА = 10 см. Наибольшая сторона треугольника A₁B₁C₁ равна 7,5 см. Найдите две другие стороны треугольника А₁В₁С₁.

По условию, треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, то есть $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$. Это означает, что их соответствующие стороны пропорциональны. Запишем это в виде отношения:

$\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{C_1A_1}{CA} = k$, где $k$ — коэффициент подобия.

Известны стороны треугольника $ABC$: $AB=6$ см, $BC=9$ см, $CA=10$ см. Найдем наибольшую из этих сторон. Сравнивая их длины, видим, что $10 > 9 > 6$. Следовательно, наибольшая сторона треугольника $ABC$ — это сторона $CA = 10$ см.

В подобных треугольниках наибольшей стороне одного треугольника соответствует наибольшая сторона другого. По условию, наибольшая сторона треугольника $A_1B_1C_1$ равна $7,5$ см. Значит, эта сторона соответствует стороне $CA$ треугольника $ABC$. Таким образом, $C_1A_1 = 7,5$ см.

Теперь мы можем найти коэффициент подобия $k$, разделив длину стороны треугольника $A_1B_1C_1$ на длину соответствующей ей стороны треугольника $ABC$:

$k = \frac{C_1A_1}{CA} = \frac{7,5}{10} = 0,75$

Зная коэффициент подобия, найдем две другие стороны треугольника $A_1B_1C_1$:

1. Сторона $A_1B_1$ соответствует стороне $AB$. Ее длина равна:

$A_1B_1 = AB \cdot k = 6 \cdot 0,75 = 4,5$ см.

2. Сторона $B_1C_1$ соответствует стороне $BC$. Ее длина равна:

$B_1C_1 = BC \cdot k = 9 \cdot 0,75 = 6,75$ см.

Итак, две другие стороны треугольника $A_1B_1C_1$ имеют длины 4,5 см и 6,75 см.

Ответ: 4,5 см и 6,75 см.

711 Диагональ АС трапеции ABCD делит её на два подобных треугольника. Докажите, что АС² = a ⋅ b, где a и b — основания трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$, в которой основания $BC$ и $AD$ параллельны. Обозначим длины оснований как $BC = a$ и $AD = b$.

Диагональ $AC$ делит трапецию на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. По условию задачи, эти треугольники подобны.

Так как $BC \parallel AD$ (как основания трапеции), а $AC$ является секущей, то накрест лежащие углы равны: $\angle BCA = \angle CAD$.

Поскольку треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$ подобны и у них есть пара заведомо равных углов ($\angle BCA$ в первом и $\angle CAD$ во втором), мы должны определить правильное соответствие вершин для установления пропорциональности сторон. Рассмотрим подобие вида $\triangle ABC \sim \triangle DCA$.

Такое подобие означает, что углы треугольников равны следующим образом: $\angle BAC = \angle ADC$, $\angle ABC = \angle DCA$ и $\angle BCA = \angle CAD$. Последнее равенство, как было показано выше, является свойством любой трапеции. Следовательно, данное соответствие вершин возможно.

Из подобия треугольников $\triangle ABC \sim \triangle DCA$ следует, что отношение длин их сходственных сторон равно. Сходственные стороны лежат напротив равных углов. Запишем это в виде пропорции:

$ \frac{BC}{AC} = \frac{AC}{AD} = \frac{AB}{DC} $

(Здесь $BC$ противолежит углу $\angle BAC$, а $AC$ — равному ему углу $\angle ADC$; сторона $AC$ противолежит углу $\angle ABC$, а $AD$ — равному ему углу $\angle DCA$).

Для доказательства нам достаточно использовать первую часть этой пропорции: $ \frac{BC}{AC} = \frac{AC}{AD} $

Подставим в полученное равенство заданные длины оснований $BC = a$ и $AD = b$: $ \frac{a}{AC} = \frac{AC}{b} $

Используя основное свойство пропорции (произведение средних членов равно произведению крайних), получаем: $ AC \cdot AC = a \cdot b $

Таким образом, $AC^2 = a \cdot b$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

712 Биссектрисы MD и NK треугольника MNP пересекаются в точке О. Найдите отношение OK : ON, если MN = 5 см, NP = 3 см, МР = 7 см.

Решение:

Рассмотрим треугольник $MNP$. По условию, $NK$ является биссектрисой угла $N$. Точка $K$ лежит на стороне $MP$. Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Таким образом, для биссектрисы $NK$ в треугольнике $MNP$ справедливо соотношение:

$ \frac{MK}{KP} = \frac{MN}{NP} $

Подставим известные значения длин сторон: $MN = 5$ см и $NP = 3$ см.

$ \frac{MK}{KP} = \frac{5}{3} $

Отсюда можно выразить $KP$ через $MK$: $KP = \frac{3}{5} MK$.

Точка $K$ делит сторону $MP$ на отрезки $MK$ и $KP$, поэтому $MK + KP = MP$. По условию $MP = 7$ см. Составим и решим уравнение:

$ MK + \frac{3}{5} MK = 7 $

$ \frac{5}{5} MK + \frac{3}{5} MK = 7 $

$ \frac{8}{5} MK = 7 $

$ MK = 7 \cdot \frac{5}{8} = \frac{35}{8} $ см.

Теперь рассмотрим треугольник $MNK$. Отрезок $MO$ является частью биссектрисы $MD$ угла $M$ треугольника $MNP$. Следовательно, $MO$ является биссектрисой угла $NMK$ (или угла $M$) в треугольнике $MNK$.

Применим свойство биссектрисы угла к треугольнику $MNK$ и биссектрисе $MO$. Биссектриса $MO$ делит противолежащую сторону $NK$ на отрезки $OK$ и $ON$, пропорциональные прилежащим сторонам $MK$ и $MN$:

$ \frac{OK}{ON} = \frac{MK}{MN} $

Мы уже нашли $MK = \frac{35}{8}$ см, а $MN = 5$ см по условию. Подставим эти значения в пропорцию:

$ \frac{OK}{ON} = \frac{35/8}{5} = \frac{35}{8 \cdot 5} = \frac{7}{8} $

Таким образом, искомое отношение $OK : ON$ равно $7 : 8$.

Ответ: $7:8$.

713 Основание равнобедренного треугольника относится к боковой стороне как 4 : 3, а высота, проведённая к основанию, равна 30 см. Найдите отрезки, на которые эту высоту делит биссектриса угла при основании.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. Пусть $BH$ – высота, проведенная к основанию $AC$. По условию, $BH = 30$ см. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой, поэтому точка $H$ – середина $AC$, и следовательно, $AH = HC$.

Из условия известно, что отношение основания к боковой стороне равно $4:3$. Пусть коэффициент пропорциональности равен $x$. Тогда основание $AC = 4x$, а боковая сторона $AB = 3x$. Так как $H$ – середина $AC$, то $AH = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2}(4x) = 2x$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (угол $\angle AHB = 90^\circ$). По теореме Пифагора: $AB^2 = AH^2 + BH^2$

Подставим известные значения и выражения через $x$:
$(3x)^2 = (2x)^2 + 30^2$
$9x^2 = 4x^2 + 900$
$9x^2 - 4x^2 = 900$
$5x^2 = 900$
$x^2 = \frac{900}{5} = 180$

Теперь мы можем найти длины отрезков $AB$ и $AH$.
$AB = 3x = 3\sqrt{180} = 3 \cdot \sqrt{36 \cdot 5} = 3 \cdot 6\sqrt{5} = 18\sqrt{5}$ см.
$AH = 2x = 2\sqrt{180} = 2 \cdot 6\sqrt{5} = 12\sqrt{5}$ см.

Пусть $AD$ – биссектриса угла при основании $A$ (т.е. $\angle BAC$). Она пересекает высоту $BH$ в точке $O$. Мы ищем длины отрезков $BO$ и $OH$, на которые биссектриса делит высоту.

Рассмотрим треугольник $ABH$. Отрезок $AO$ является биссектрисой угла $BAH$ (так как $\angle BAH$ это тот же угол, что и $\angle BAC$). По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону (в нашем случае $BH$) на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника ($AB$ и $AH$). Таким образом, мы можем записать отношение:
$\frac{BO}{OH} = \frac{AB}{AH}$

Подставим найденные значения длин $AB$ и $AH$:
$\frac{BO}{OH} = \frac{18\sqrt{5}}{12\sqrt{5}} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$

Итак, мы получили, что точка $O$ делит высоту $BH$ в отношении $3:2$, считая от вершины $B$. Общая длина высоты $BH = BO + OH = 30$ см. Пусть $BO = 3y$ и $OH = 2y$. Тогда:
$3y + 2y = 30$
$5y = 30$
$y = 6$ см.

Теперь найдем длины искомых отрезков:
$BO = 3y = 3 \cdot 6 = 18$ см.
$OH = 2y = 2 \cdot 6 = 12$ см.
Ответ: 18 см и 12 см.

714 На продолжении боковой стороны ОВ равнобедренного треугольника AOB с основанием AB взята точка С так, что точка В лежит между точками О и С. Отрезок АС пересекает биссектрису угла AOB в точке М. Докажите, что АМ < МС.

Рассмотрим треугольники $OAM$ и $OBM$.

1. 1. $OA = OB$ по условию, так как треугольник $AOB$ равнобедренный с основанием $AB$.
2. 2. Сторона $OM$ — общая.
3. 3. $\angle AOM = \angle BOM$ по условию, так как $OM$ — биссектриса угла $AOB$.

Следовательно, $\triangle OAM = \triangle OBM$ по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов: $AM = BM$ и $\angle OMA = \angle OMB$.

Таким образом, задача сводится к доказательству неравенства $BM < MC$.

Рассмотрим треугольник $BMC$. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот. Для доказательства неравенства $BM < MC$ достаточно доказать, что угол, противолежащий стороне $BM$, меньше угла, противолежащего стороне $MC$. То есть, нам нужно доказать, что $\angle BCM < \angle MBC$.

Для нахождения и сравнения этих углов воспользуемся теоремой о внешнем угле треугольника.

1. Рассмотрим треугольник $OCM$. Точка $M$ лежит на отрезке $AC$, поэтому угол $\angle OMA$ является внешним для треугольника $OCM$ при вершине $M$. По свойству внешнего угла, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

$\angle OMA = \angle MOC + \angle MCO$

По условию, $OM$ — биссектриса угла $AOB$, обозначим $\angle AOM = \angle BOM = \beta$. Точка $C$ лежит на продолжении стороны $OB$ за точку $B$, значит лучи $OB$ и $OC$ совпадают, и $\angle MOC = \angle BOM = \beta$. Угол $\angle MCO$ — это и есть угол $\angle BCM$. Обозначим его $\gamma$.

Получаем: $\angle OMA = \beta + \gamma$.

2. Из доказанного ранее равенства треугольников $\triangle OAM = \triangle OBM$ следует, что $\angle OMB = \angle OMA$. Таким образом, $\angle OMB = \beta + \gamma$.

3. Теперь рассмотрим треугольник $OBM$. Точки $O, B, C$ лежат на одной прямой, поэтому угол $\angle MBC$ является внешним для треугольника $OBM$ при вершине $B$. По свойству внешнего угла:

$\angle MBC = \angle BOM + \angle OMB$

Подставляя известные нам выражения для углов, получаем:

$\angle MBC = \beta + (\beta + \gamma) = 2\beta + \gamma$.

4. Теперь сравним углы $\angle BCM$ и $\angle MBC$.

$\angle BCM = \gamma$

$\angle MBC = 2\beta + \gamma$

Так как $\triangle AOB$ является невырожденным треугольником, то его угол $\angle AOB = 2\beta$ должен быть больше нуля, следовательно, $\beta > 0$.

Отсюда $2\beta > 0$, и $2\beta + \gamma > \gamma$. Значит, $\angle MBC > \angle BCM$.

В треугольнике $BMC$ против большего угла $\angle MBC$ лежит большая сторона $MC$, а против меньшего угла $\angle BCM$ лежит меньшая сторона $BM$. Таким образом, $MC > BM$.

Так как мы ранее установили, что $AM = BM$, то из неравенства $MC > BM$ следует, что $MC > AM$, или $AM < MC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство $AM < MC$ доказано.

715 На стороне ВС треугольника ABC взята точка D так, что BDAB = DCAC. Докажите, что AD — биссектриса треугольника ABC.

Для доказательства того, что отрезок $AD$ является биссектрисой угла $BAC$ в треугольнике $ABC$, воспользуемся методом дополнительного построения. Данная задача представляет собой доказательство теоремы, обратной свойству биссектрисы угла треугольника.

Дано:
Треугольник $ABC$.
Точка $D$ лежит на стороне $BC$.
Выполняется соотношение $\frac{BD}{AB} = \frac{DC}{AC}$.

Доказать:
$AD$ — биссектриса угла $BAC$, то есть $\angle BAD = \angle CAD$.

Доказательство:

1. Преобразуем исходное соотношение $\frac{BD}{AB} = \frac{DC}{AC}$. Используя свойство пропорции (можно поменять местами средние члены), получим равносильное соотношение: $$ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} $$ Именно в таком виде формулируется свойство биссектрисы.

2. Выполним дополнительное построение. На продолжении стороны $AB$ за точку $A$ отложим отрезок $AE$, длина которого равна длине стороны $AC$. То есть, $AE = AC$. После этого соединим точки $E$ и $C$.

3. Рассмотрим вновь образованный треугольник $AEC$. По построению $AE = AC$, следовательно, треугольник $AEC$ является равнобедренным с основанием $EC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $$ \angle AEC = \angle ACE $$

4. Вернемся к соотношению, полученному в шаге 1: $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$. Так как мы построили $AE = AC$, мы можем заменить $AC$ на $AE$ в этом равенстве: $$ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AE} $$

5. Теперь рассмотрим треугольник $EBC$. Прямая $AD$ пересекает его стороны $BC$ и $BE$ (сторона $BE$ является продолжением $BA$). Равенство, полученное в шаге 4, показывает, что прямая $AD$ делит стороны $BC$ и $BE$ треугольника $EBC$ на пропорциональные отрезки.

6. Согласно теореме, обратной обобщенной теореме Фалеса, если прямая, пересекающая две стороны треугольника (или их продолжения), отсекает от них пропорциональные отрезки, то эта прямая параллельна третьей стороне треугольника. В нашем случае это означает, что прямая $AD$ параллельна прямой $EC$: $$ AD \parallel EC $$

7. Из параллельности прямых $AD$ и $EC$ следуют равенства углов, образованных при пересечении этих прямых секущими:
- При пересечении параллельных прямых $AD$ и $EC$ секущей $BE$ соответственные углы равны. Следовательно, $\angle BAD = \angle BEC$. Угол $\angle BEC$ — это тот же угол, что и $\angle AEC$, поэтому $\angle BAD = \angle AEC$.
- При пересечении тех же параллельных прямых $AD$ и $EC$ секущей $AC$ накрест лежащие углы равны. Следовательно, $\angle CAD = \angle ACE$.

8. Сопоставим все полученные равенства:
- $\angle AEC = \angle ACE$ (из шага 3, так как $\triangle AEC$ — равнобедренный).
- $\angle BAD = \angle AEC$ (из шага 7, как соответственные углы).
- $\angle CAD = \angle ACE$ (из шага 7, как накрест лежащие углы).
Из этих трех равенств следует, что: $$ \angle BAD = \angle CAD $$

Таким образом, мы доказали, что отрезок $AD$ делит угол $BAC$ на два равных угла, а это по определению означает, что $AD$ является биссектрисой угла $BAC$ треугольника $ABC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.