Номер 14, страница 186 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 8. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 14, страница 186.

14 Объясните, какие две фигуры называются подобными. Что такое коэффициент подобия фигур?

Какие две фигуры называются подобными

Две геометрические фигуры называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия. Преобразование подобия — это такое преобразование, при котором расстояния между любыми двумя точками изменяются в одно и то же число раз.

Проще говоря, две фигуры подобны, если они имеют одинаковую форму, но могут различаться размерами. Одну подобную фигуру можно получить из другой путем равномерного увеличения или уменьшения (масштабирования), возможно, с последующим перемещением, поворотом или зеркальным отражением.

Например, для многоугольников это означает, что у подобных многоугольников соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Если есть два подобных треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, то у них будут равны соответствующие углы:
$\angle A = \angle A_1, \angle B = \angle B_1, \angle C = \angle C_1$
А их соответствующие стороны будут пропорциональны:
$\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{A_1C_1}{AC}$

Любые два квадрата подобны друг другу. Любые два круга также подобны.

Ответ: Две фигуры называются подобными, если они имеют одинаковую форму, но не обязательно одинаковый размер. Это означает, что одну фигуру можно получить из другой с помощью преобразования подобия (растяжения или сжатия, а также движения).

Что такое коэффициент подобия фигур

Коэффициент подобия — это число $k$, которое показывает, во сколько раз стороны (и другие линейные размеры) одной фигуры больше соответствующих сторон другой подобной ей фигуры. Коэффициент подобия всегда является положительным числом ($k > 0$).

Если фигура $F_1$ подобна фигуре $F$, то для любых двух соответствующих точек $X$ и $Y$ в фигуре $F$ и $X_1$, $Y_1$ в фигуре $F_1$ выполняется соотношение: $X_1Y_1 = k \cdot XY$, где $k$ — коэффициент подобия.

Для упомянутых выше подобных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ коэффициент подобия $k$ равен отношению длин соответствующих сторон:
$k = \frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{A_1C_1}{AC}$

В зависимости от значения коэффициента подобия $k$:

• Если $k > 1$, то происходит увеличение фигуры.
• Если $0 < k < 1$, то происходит уменьшение фигуры.
• Если $k = 1$, то фигуры равны (конгруэнтны).

Важно отметить, что отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия ($\frac{S_1}{S} = k^2$), а отношение объемов (для трехмерных фигур) — кубу коэффициента подобия ($\frac{V_1}{V} = k^3$).

Ответ: Коэффициент подобия — это положительное число, равное отношению длин соответствующих линейных элементов (например, сторон) подобных фигур.