Номер 8, страница 185 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
Вопросы для повторения к главе 8. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 8, страница 185.
№8 (с. 185)
Условие. №8 (с. 185)
скриншот условия

8 Какой отрезок называется средней линией треугольника? Сформулируйте и докажите теорему о средней линии треугольника.
Решение 2. №8 (с. 185)

Решение 4. №8 (с. 185)

Решение 11. №8 (с. 185)
Какой отрезок называется средней линией треугольника?
Средней линией треугольника называется отрезок, который соединяет середины двух его сторон.
Каждый треугольник имеет три средние линии. Например, если в треугольнике $ABC$ точки $M$, $N$ и $P$ являются серединами сторон $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно, то отрезки $MN$, $NP$ и $MP$ — это средние линии треугольника $ABC$.
Ответ: Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Сформулируйте и докажите теорему о средней линии треугольника.
Формулировка теоремы
Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине.
Доказательство
Дано:
Рассмотрим треугольник $ABC$.
Пусть $MN$ — его средняя линия, где точка $M$ является серединой стороны $AB$, а точка $N$ — серединой стороны $AC$.
То есть, $AM = MB$ и $AN = NC$.
Доказать:
$MN \parallel BC$ и $MN = \frac{1}{2}BC$.
1. Рассмотрим треугольники $\triangle AMN$ и $\triangle ABC$. У этих треугольников есть общий угол $\angle A$ (или $\angle MAN = \angle BAC$).
2. По определению средней линии, $M$ — середина $AB$, а $N$ — середина $AC$. Это означает, что:
$AM = \frac{1}{2}AB$
$AN = \frac{1}{2}AC$
Следовательно, стороны двух треугольников, прилежащие к общему углу $A$, пропорциональны:
$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{1}{2}$
3. По второму признаку подобия треугольников (если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны), заключаем, что $\triangle AMN$ подобен $\triangle ABC$ ($\triangle AMN \sim \triangle ABC$). Коэффициент подобия $k$ равен $\frac{1}{2}$.
4. Из подобия треугольников следуют два утверждения:
а) Соответствующие углы равны: $\angle AMN = \angle ABC$. Эти углы являются соответственными при прямых $MN$ и $BC$ и секущей $AB$. Так как соответственные углы равны, то прямые параллельны: $MN \parallel BC$.
б) Отношение длин третьих сторон также равно коэффициенту подобия: $\frac{MN}{BC} = k = \frac{1}{2}$. Из этого соотношения следует, что $MN = \frac{1}{2}BC$.
Таким образом, мы доказали, что средняя линия $MN$ параллельна стороне $BC$ и равна её половине. Теорема доказана.
Ответ: Теорема о средней линии треугольника гласит, что средняя линия параллельна третьей стороне треугольника и равна её половине. Доказательство основано на признаке подобия треугольников по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 8 расположенного на странице 185 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №8 (с. 185), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.