Номер 708, страница 185 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

75. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45° и 60°. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 708, страница 185.

708 Стороны прямоугольника равны 3 см и 3 см. Найдите углы, которые образует диагональ со сторонами прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник со сторонами $a = 3$ см и $b = \sqrt{3}$ см. Диагональ делит этот прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника. Стороны прямоугольника являются катетами этих треугольников, а диагональ — их общей гипотенузой.

Рассмотрим один из таких прямоугольных треугольников. Его катеты равны $3$ см и $\sqrt{3}$ см. Углы, которые образует диагональ (гипотенуза) со сторонами (катетами), можно найти с помощью тригонометрических соотношений.

Пусть $\alpha$ — угол, который диагональ образует со стороной длиной 3 см. В прямоугольном треугольнике этот угол лежит напротив катета длиной $\sqrt{3}$ см. Прилежащий к углу $\alpha$ катет равен 3 см.

Тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению длины противолежащего катета к длине прилежащего катета:
$\tan(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Это табличное значение тангенса, которое соответствует углу $30^{\circ}$. Таким образом, $\alpha = 30^{\circ}$.

Пусть $\beta$ — второй острый угол треугольника, который диагональ образует со стороной длиной $\sqrt{3}$ см. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^{\circ}$. Следовательно:
$\beta = 90^{\circ} - \alpha = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$

Можно также найти $\beta$ через тангенс. Для угла $\beta$ противолежащим катетом будет сторона длиной 3 см, а прилежащим — сторона длиной $\sqrt{3}$ см.
$\tan(\beta) = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$

Это табличное значение тангенса, которое соответствует углу $60^{\circ}$. Таким образом, $\beta = 60^{\circ}$.

Итак, углы, которые диагональ образует со сторонами прямоугольника, равны $30^{\circ}$ и $60^{\circ}$.

Ответ: $30^{\circ}$ и $60^{\circ}$.