Номер 743, страница 197 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Окружность. Параграф 1. Окружность и прямые. 78. Общие касательные двух окружностей - номер 743, страница 197.

Условие.

743 Радиус OM окружности с центром О делит хорду AB пополам. Докажите, что касательная, проведённая через точку М, параллельна хорде AB.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 11.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$. $AB$ — хорда этой окружности, а $OM$ — радиус. Пусть прямая, содержащая радиус $OM$, пересекает хорду $AB$ в точке $K$. По условию задачи, радиус делит хорду пополам, это означает, что точка $K$ является серединой хорды $AB$, то есть $AK = KB$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAB$. Стороны $OA$ и $OB$ этого треугольника являются радиусами одной и той же окружности, поэтому $OA = OB$. Это означает, что треугольник $\triangle OAB$ является равнобедренным с основанием $AB$.

В равнобедренном треугольнике $\triangle OAB$ отрезок $OK$ соединяет вершину $O$ с серединой основания $AB$, следовательно, $OK$ является медианой. По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Таким образом, отрезок $OK$ перпендикулярен основанию $AB$, то есть $OK \perp AB$.

Поскольку радиус $OM$ лежит на той же прямой, что и отрезок $OK$, то радиус $OM$ перпендикулярен хорде $AB$: $OM \perp AB$.

Пусть $c$ — касательная к окружности, проведенная через точку $M$. По свойству касательной, она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Следовательно, касательная $c$ перпендикулярна радиусу $OM$: $c \perp OM$.

Мы получили, что две прямые — прямая, содержащая хорду $AB$, и касательная $c$ — перпендикулярны одной и той же прямой, содержащей радиус $OM$. Известно, что если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны.

Следовательно, касательная $c$ параллельна хорде $AB$.

Ответ: Что и требовалось доказать.