Номер 743, страница 197 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Окружность и прямые. 78. Общие касательные двух окружностей. Глава 9. Окружность - номер 743, страница 197.

743 Радиус OM окружности с центром О делит хорду AB пополам. Докажите, что касательная, проведённая через точку М, параллельна хорде AB.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$. $AB$ — хорда этой окружности, а $OM$ — радиус. Пусть прямая, содержащая радиус $OM$, пересекает хорду $AB$ в точке $K$. По условию задачи, радиус делит хорду пополам, это означает, что точка $K$ является серединой хорды $AB$, то есть $AK = KB$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAB$. Стороны $OA$ и $OB$ этого треугольника являются радиусами одной и той же окружности, поэтому $OA = OB$. Это означает, что треугольник $\triangle OAB$ является равнобедренным с основанием $AB$.

В равнобедренном треугольнике $\triangle OAB$ отрезок $OK$ соединяет вершину $O$ с серединой основания $AB$, следовательно, $OK$ является медианой. По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Таким образом, отрезок $OK$ перпендикулярен основанию $AB$, то есть $OK \perp AB$.

Поскольку радиус $OM$ лежит на той же прямой, что и отрезок $OK$, то радиус $OM$ перпендикулярен хорде $AB$: $OM \perp AB$.

Пусть $c$ — касательная к окружности, проведенная через точку $M$. По свойству касательной, она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Следовательно, касательная $c$ перпендикулярна радиусу $OM$: $c \perp OM$.

Мы получили, что две прямые — прямая, содержащая хорду $AB$, и касательная $c$ — перпендикулярны одной и той же прямой, содержащей радиус $OM$. Известно, что если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны.

Следовательно, касательная $c$ параллельна хорде $AB$.

Ответ: Что и требовалось доказать.