Номер 748, страница 197 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Окружность. Параграф 1. Окружность и прямые. 78. Общие касательные двух окружностей - номер 748, страница 197.

Условие.

748 В прямоугольной трапеции ABCD ∠A = ∠D = 90°. Докажите, что: а) прямая AD является касательной к окружности с центром B радиуса AB; б) прямая CD является касательной к окружности с центром A радиуса AD; в) прямая CD не является касательной к окружности с центром В радиуса BС.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

а) Чтобы доказать, что прямая $AD$ является касательной к окружности с центром в точке $B$ и радиусом, равным $AB$, необходимо показать, что расстояние от центра окружности (точки $B$) до прямой $AD$ равно радиусу этой окружности ($AB$). Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. По условию, в трапеции $ABCD$ угол $A$ является прямым, то есть $ \angle A = 90^\circ $. Это означает, что сторона $AB$ перпендикулярна стороне $AD$ ($AB \perp AD$). Следовательно, отрезок $AB$ и есть перпендикуляр, опущенный из точки $B$ на прямую $AD$. Таким образом, расстояние от центра $B$ до прямой $AD$ равно длине отрезка $AB$. Поскольку расстояние от центра окружности до прямой $AD$ равно $AB$, и радиус окружности также равен $AB$, то прямая $AD$ является касательной к данной окружности.
Ответ: Прямая $AD$ является касательной к окружности с центром $B$ и радиусом $AB$, так как расстояние от центра окружности до прямой равно ее радиусу.

б) Чтобы доказать, что прямая $CD$ является касательной к окружности с центром в точке $A$ и радиусом, равным $AD$, нужно показать, что расстояние от центра $A$ до прямой $CD$ равно радиусу $AD$. По условию, в трапеции $ABCD$ угол $D$ является прямым, то есть $ \angle D = 90^\circ $. Это означает, что сторона $AD$ перпендикулярна стороне $CD$ ($AD \perp CD$). Таким образом, отрезок $AD$ является перпендикуляром, опущенным из точки $A$ на прямую $CD$, и его длина равна расстоянию от центра $A$ до прямой $CD$. Так как расстояние от центра окружности $A$ до прямой $CD$ ($AD$) равно радиусу окружности ($AD$), прямая $CD$ является касательной к данной окружности.
Ответ: Прямая $CD$ является касательной к окружности с центром $A$ и радиусом $AD$, так как расстояние от центра окружности до прямой равно ее радиусу.

в) Чтобы доказать, что прямая $CD$ не является касательной к окружности с центром в точке $B$ и радиусом $BC$, нужно показать, что расстояние от центра $B$ до прямой $CD$ не равно радиусу $BC$. Найдем расстояние от точки $B$ до прямой $CD$. Для этого опустим перпендикуляр $BH$ из точки $B$ на прямую $CD$. Длина отрезка $BH$ и будет этим расстоянием. В прямоугольной трапеции $ABCD$ с $ \angle A = \angle D = 90^\circ $, основания $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$), а боковая сторона $AD$ перпендикулярна обоим основаниям. Рассмотрим четырехугольник $ABHD$. В нем $AB \parallel HD$ (так как $H$ лежит на прямой $CD$), $ \angle D = 90^\circ $ и $ \angle BHD = 90^\circ $ (по построению $BH \perp CD$). Отсюда следует, что $AD \parallel BH$ (как два перпендикуляра к одной прямой). Таким образом, $ABHD$ — прямоугольник, и $BH = AD$. Теперь сравним найденное расстояние $BH = AD$ с радиусом окружности $BC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$ (с прямым углом $H$). В этом треугольнике $BC$ — гипотенуза, а $BH$ и $HC$ — катеты. Поскольку $ABCD$ — трапеция, а не прямоугольник, ее основания не равны ($AB \neq CD$), значит, длина катета $HC = |CD - AB|$ больше нуля. В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее любого из катетов, поэтому $BC > BH$. Так как $BH = AD$, мы получаем неравенство $BC > AD$. Это означает, что радиус окружности ($BC$) больше, чем расстояние от ее центра ($B$) до прямой $CD$ (равное $AD$).
Ответ: Прямая $CD$ не является касательной к окружности с центром $B$ и радиусом $BC$, так как расстояние от центра $B$ до прямой $CD$ равно $AD$, что строго меньше радиуса $BC$.