Номер 746, страница 197 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Окружность. Параграф 1. Окружность и прямые. 78. Общие касательные двух окружностей - номер 746, страница 197.

Условие.

746 Прямые МА и MB касаются окружности с центром О в точках A и B. Точка С симметрична точке О относительно точки В. Докажите, что ∠AMC = 3∠BMC.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 11.

По условию, прямая $MB$ является касательной к окружности с центром $O$ в точке $B$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $OB \perp MB$, и $\angle OBM = 90^\circ$.

Точка $C$ симметрична точке $O$ относительно точки $B$. По определению симметрии, точка $B$ — середина отрезка $OC$, и точки $O, B, C$ лежат на одной прямой. Отсюда следует, что $OB = BC$.

Так как точки $O, B, C$ лежат на одной прямой и $MB \perp OB$, то прямая $MB$ перпендикулярна всей прямой $OC$. Значит, $\angle CBM = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольники $\triangle OBM$ и $\triangle CBM$. У них есть: 1. Общая сторона $MB$. 2. Равные стороны $OB = BC$ (из условия симметрии). 3. Равные углы $\angle OBM = \angle CBM = 90^\circ$. Следовательно, $\triangle OBM \cong \triangle CBM$ по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов, а именно $\angle BMO = \angle BMC$.

По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки $M$, прямая $MO$, соединяющая эту точку с центром окружности, является биссектрисой угла $\angle AMB$, образованного касательными. Таким образом, $\angle AMB = 2\angle BMO$.

Пусть $\angle BMC = \alpha$. Тогда из доказанного равенства $\angle BMO = \angle BMC$ следует, что $\angle BMO = \alpha$. А из того, что $MO$ — биссектриса угла $\angle AMB$, получаем $\angle AMB = 2\angle BMO = 2\alpha$.

Угол $\angle AMC$ состоит из суммы двух углов: $\angle AMB$ и $\angle BMC$.
$\angle AMC = \angle AMB + \angle BMC = 2\alpha + \alpha = 3\alpha$.
Подставляя обратно $\angle BMC$ вместо $\alpha$, получаем $\angle AMC = 3\angle BMC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.