Номер 746, страница 197 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
§ 1. Окружность и прямые. 78. Общие касательные двух окружностей. Глава 9. Окружность - номер 746, страница 197.
№746 (с. 197)
Условие. №746 (с. 197)
скриншот условия

746 Прямые МА и MB касаются окружности с центром О в точках A и B. Точка С симметрична точке О относительно точки В. Докажите, что ∠AMC = 3∠BMC.
Решение 2. №746 (с. 197)

Решение 3. №746 (с. 197)

Решение 4. №746 (с. 197)

Решение 6. №746 (с. 197)


Решение 8. №746 (с. 197)


Решение 9. №746 (с. 197)


Решение 11. №746 (с. 197)
По условию, прямая $MB$ является касательной к окружности с центром $O$ в точке $B$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $OB \perp MB$, и $\angle OBM = 90^\circ$.
Точка $C$ симметрична точке $O$ относительно точки $B$. По определению симметрии, точка $B$ — середина отрезка $OC$, и точки $O, B, C$ лежат на одной прямой. Отсюда следует, что $OB = BC$.
Так как точки $O, B, C$ лежат на одной прямой и $MB \perp OB$, то прямая $MB$ перпендикулярна всей прямой $OC$. Значит, $\angle CBM = 90^\circ$.
Рассмотрим треугольники $\triangle OBM$ и $\triangle CBM$. У них есть: 1. Общая сторона $MB$. 2. Равные стороны $OB = BC$ (из условия симметрии). 3. Равные углы $\angle OBM = \angle CBM = 90^\circ$. Следовательно, $\triangle OBM \cong \triangle CBM$ по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов, а именно $\angle BMO = \angle BMC$.
По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки $M$, прямая $MO$, соединяющая эту точку с центром окружности, является биссектрисой угла $\angle AMB$, образованного касательными. Таким образом, $\angle AMB = 2\angle BMO$.
Пусть $\angle BMC = \alpha$. Тогда из доказанного равенства $\angle BMO = \angle BMC$ следует, что $\angle BMO = \alpha$. А из того, что $MO$ — биссектриса угла $\angle AMB$, получаем $\angle AMB = 2\angle BMO = 2\alpha$.
Угол $\angle AMC$ состоит из суммы двух углов: $\angle AMB$ и $\angle BMC$.
$\angle AMC = \angle AMB + \angle BMC = 2\alpha + \alpha = 3\alpha$.
Подставляя обратно $\angle BMC$ вместо $\alpha$, получаем $\angle AMC = 3\angle BMC$, что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 746 расположенного на странице 197 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №746 (с. 197), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.