Номер 745, страница 197 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Окружность и прямые. 78. Общие касательные двух окружностей. Глава 9. Окружность - номер 745, страница 197.

745 Прямая AB касается окружности с центром О радиуса r в точке В. Найдите AB, если ∠AOB = 60°, а r = 12 см.

Рассмотрим треугольник, образованный точками A, O (центр окружности) и B (точка касания).

По условию задачи, прямая AB является касательной к окружности в точке B. Согласно свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен самой касательной. Это означает, что радиус OB перпендикулярен прямой AB. Следовательно, угол $\angle OBA$ является прямым, то есть $\angle OBA = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник $\triangle AOB$ является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине B. В этом треугольнике нам известны:

1. Длина катета $OB$, который является радиусом окружности: $OB = r = 12$ см.

2. Величина острого угла $\angle AOB = 60^\circ$.

Искомая сторона $AB$ является вторым катетом этого треугольника.

Для нахождения длины катета $AB$ можно воспользоваться тригонометрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике. Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Для угла $\angle AOB$ противолежащим катетом является сторона $AB$, а прилежащим — сторона $OB$.

Запишем соответствующую формулу:$$ \tan(\angle AOB) = \frac{AB}{OB} $$

Подставим известные значения в это уравнение:$$ \tan(60^\circ) = \frac{AB}{12} $$

Значение тангенса $60^\circ$ является табличной величиной и равно $\sqrt{3}$.$$ \sqrt{3} = \frac{AB}{12} $$

Теперь выразим искомую длину $AB$:$$ AB = 12 \cdot \sqrt{3} \text{ (см)} $$

Ответ: $12\sqrt{3}$ см.