Страница 199 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

760 Докажите утверждение 5 из теоремы о взаимном расположении окружностей: если расстояние между центрами двух окружностей с неравными радиусами меньше разности радиусов, то одна окружность лежит внутри другой окружности.

Для доказательства данного утверждения рассмотрим две окружности. Пусть первая окружность имеет центр в точке $O_1$ и радиус $R_1$, а вторая — центр в точке $O_2$ и радиус $R_2$. Расстояние между центрами этих окружностей обозначим как $d$, то есть $d = |O_1O_2|$.

По условию задачи радиусы окружностей не равны. Для определенности предположим, что радиус первой окружности больше радиуса второй, то есть $R_1 > R_2$. Тогда условие, что расстояние между центрами меньше разности радиусов, запишется в виде неравенства:

$d < R_1 - R_2$

Нам необходимо доказать, что одна окружность лежит внутри другой. Так как мы предположили, что $R_1 > R_2$, мы будем доказывать, что меньшая окружность (с центром $O_2$) полностью находится внутри большей окружности (с центром $O_1$).

Чтобы доказать, что меньшая окружность находится внутри большей, нужно показать, что любая точка, принадлежащая меньшей окружности, находится внутри круга, ограниченного большей окружностью. Другими словами, для любой точки $P$ на окружности с центром $O_2$ должно выполняться условие $|O_1P| < R_1$.

Возьмем произвольную точку $P$ на окружности с центром $O_2$ и радиусом $R_2$. По определению окружности, расстояние от любой ее точки до центра равно радиусу, следовательно:

$|O_2P| = R_2$

Рассмотрим три точки: $O_1$, $O_2$ и $P$. Для этих точек справедливо неравенство треугольника (или правило для трех точек на одной прямой), которое гласит:

$|O_1P| \le |O_1O_2| + |O_2P|$

Подставим в это неравенство известные нам величины $d = |O_1O_2|$ и $R_2 = |O_2P|$:

$|O_1P| \le d + R_2$

Теперь вернемся к исходному условию задачи: $d < R_1 - R_2$. Из этого неравенства следует, что:

$d + R_2 < R_1$

Теперь у нас есть система из двух неравенств:

1) $|O_1P| \le d + R_2$

2) $d + R_2 < R_1$

Из этих двух соотношений методом транзитивности мы можем заключить, что:

$|O_1P| < R_1$

Поскольку точка $P$ была выбрана на меньшей окружности произвольно, и мы доказали, что расстояние от нее до центра большей окружности $O_1$ строго меньше радиуса $R_1$, это означает, что каждая точка меньшей окружности лежит внутри круга, ограниченного большей окружностью. Таким образом, меньшая окружность полностью лежит внутри большей. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

761 Постройте касательную к данной окружности, проходящую через данную точку вне окружности.

Решение

Пусть даны окружность с центром О и радиусом R и точка М вне этой окружности. Пусть ОМ=d. Так как точка М — внешняя, то d>R. Допустим, что задача решена и МK — искомая касательная (рис. 254). Так как прямая МK перпендикулярна радиусу ОK, то решение задачи сводится к построению точки K окружности, для которой угол МKО прямой. Эту точку можно построить следующим образом: строим отрезок ОМ и его середину О₁. Затем строим окружность с центром О₁ радиуса $O_{1}M=\frac{1}{2}d.$ Для этих двух окружностей расстояние между их центрами меньше суммы радиусов $\left(\frac{1}{2}d<R+\frac{1}{2}d\right),$ поэтому окружности пересекаются в двух точках K и K₁. Прямые МK и МK₁ — искомые касательные, так как МK⊥ОK и МK⊥ОK₁. Действительно, углы МKО и МK₁О, вписанные в окружность с центром О₁, опираются на полуокружности, поэтому они прямые. Как видно из решения, задача имеет два решения.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$, а также точка $M$, расположенная вне этой окружности. Задача состоит в том, чтобы построить прямую, проходящую через точку $M$ и касающуюся данной окружности.

Для решения этой задачи воспользуемся основным свойством касательной: касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Если обозначить искомую точку касания буквой $K$, то прямая $MK$ будет касательной к окружности тогда и только тогда, когда угол $\angle MKO$ будет прямым, то есть $\angle MKO = 90^\circ$.

Таким образом, задача сводится к построению на данной окружности такой точки $K$, что треугольник $\triangle MKO$ является прямоугольным. Геометрическое место точек, из которых данный отрезок ($OM$) виден под прямым углом, есть окружность, построенная на этом отрезке как на диаметре. Следовательно, точка касания $K$ должна лежать как на исходной окружности, так и на этой вспомогательной окружности, то есть быть их точкой пересечения.

Это приводит к следующему алгоритму построения:

1. Соединить отрезком центр окружности $O$ с точкой $M$.
2. Найти середину отрезка $OM$. Обозначим ее $O_1$. Это можно сделать с помощью циркуля и линейки, построив серединный перпендикуляр к $OM$.
3. Построить вспомогательную окружность, центром которой является точка $O_1$, а радиусом — отрезок $O_1M$ (или $O_1O$). Диаметром этой окружности служит отрезок $OM$.
4. Эта вспомогательная окружность пересечет исходную окружность в двух точках. Обозначим их $K$ и $K_1$.
5. Провести прямые через точку $M$ и каждую из найденных точек: $MK$ и $MK_1$.

Построенные прямые $MK$ и $MK_1$ являются искомыми касательными. Докажем это. Углы $\angle MKO$ и $\angle MK_1O$ вписаны во вспомогательную окружность и опираются на ее диаметр $OM$, следовательно, они являются прямыми. А так как прямые $MK$ и $MK_1$ перпендикулярны радиусам $OK$ и $OK_1$ исходной окружности в точках $K$ и $K_1$, лежащих на ней, то по определению они являются касательными. Поскольку точка $M$ находится вне окружности, расстояние $OM$ больше радиуса $R$, что гарантирует пересечение двух окружностей в двух различных точках. Следовательно, задача всегда имеет два решения.

Ответ: Прямые $MK$ и $MK_1$, полученные в результате построения, являются искомыми касательными.