Страница 205 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

765 Ha полуокружности AB взяты точки С и D так, что ◡АС = 37°, ◡BD = 23°. Найдите хорду CD, если радиус окружности равен 15 см.

По условию, AB — диаметр полуокружности, следовательно, градусная мера дуги, на которой лежат точки C и D, равна $180^\circ$. Градусные меры крайних дуг $\cup AC$ и $\cup BD$ равны $37^\circ$ и $23^\circ$ соответственно.

Найдем градусную меру дуги CD, вычитая из градусной меры всей дуги полуокружности AB градусные меры дуг AC и BD. Предполагается, что точки на полуокружности расположены в порядке A, C, D, B.

$\cup CD = \cup AB - \cup AC - \cup BD = 180^\circ - 37^\circ - 23^\circ = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Центральный угол, опирающийся на дугу, равен градусной мере этой дуги. Пусть O — центр окружности. Тогда центральный угол $\angle COD$, опирающийся на дугу CD, равен $120^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle COD$. Стороны OC и OD являются радиусами окружности, поэтому $OC = OD = r = 15$ см. Треугольник $\triangle COD$ является равнобедренным.

Длину хорды CD, которая является основанием этого треугольника, можно найти по теореме косинусов:

$CD^2 = OC^2 + OD^2 - 2 \cdot OC \cdot OD \cdot \cos(\angle COD)$

Подставим известные значения в формулу:

$CD^2 = 15^2 + 15^2 - 2 \cdot 15 \cdot 15 \cdot \cos(120^\circ)$

Поскольку $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, то:

$CD^2 = 225 + 225 - 2 \cdot 225 \cdot (-\frac{1}{2})$

$CD^2 = 450 + 225 = 675$

Чтобы найти длину CD, извлечем квадратный корень из полученного значения:

$CD = \sqrt{675} = \sqrt{225 \cdot 3} = 15\sqrt{3}$ см.

Ответ: $15\sqrt{3}$ см.

766 Найдите вписанный угол ABC, если дуга АС, на которую он опирается, равна: а) 48°; б) 57°; в) 90°; г) 124°; д) 180°.

Для нахождения величины вписанного угла $ \angle ABC $ используется теорема о вписанном угле. Согласно этой теореме, величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Формула для расчета: $ \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot \frown{AC} $, где $ \frown{AC} $ — это дуга, на которую опирается угол.

Применим эту формулу для каждого из заданных случаев.

а) Дано, что дуга $ \frown{AC} = 48^\circ $.
Вычисляем вписанный угол $ \angle ABC $: $ \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 48^\circ = 24^\circ $.
Ответ: $24^\circ$.

б) Дано, что дуга $ \frown{AC} = 57^\circ $.
Вычисляем вписанный угол $ \angle ABC $: $ \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 57^\circ = 28.5^\circ $.
Ответ: $28.5^\circ$.

в) Дано, что дуга $ \frown{AC} = 90^\circ $.
Вычисляем вписанный угол $ \angle ABC $: $ \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ $.
Ответ: $45^\circ$.

г) Дано, что дуга $ \frown{AC} = 124^\circ $.
Вычисляем вписанный угол $ \angle ABC $: $ \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 124^\circ = 62^\circ $.
Ответ: $62^\circ$.

д) Дано, что дуга $ \frown{AC} = 180^\circ $. Такая дуга является полуокружностью.
Вычисляем вписанный угол $ \angle ABC $: $ \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ $.
Ответ: $90^\circ$.

767 По данным рисунка 266 найдите х.

Угол $x$ является углом между двумя пересекающимися хордами. Согласно теореме, величина такого угла равна полусумме градусных мер дуг, которые заключены между его сторонами и сторонами вертикального ему угла. На рисунке эти дуги равны $152^\circ$ и $80^\circ$.
Таким образом, для нахождения $x$ используем формулу:
$x = \frac{152^\circ + 80^\circ}{2} = \frac{232^\circ}{2} = 116^\circ$.
Ответ: $116^\circ$.

Угол, равный $30^\circ$, является углом между двумя секущими, проведенными из одной точки вне окружности. Величина такого угла равна полуразности градусных мер большей (дальней) и меньшей (ближней) дуг, высекаемых секущими на окружности. Дальняя дуга равна $125^\circ$, а ближняя дуга равна $x$.
Составим уравнение согласно теореме: $30^\circ = \frac{125^\circ - x}{2}$.
Умножив обе части уравнения на 2, получим: $60^\circ = 125^\circ - x$.
Отсюда находим $x$: $x = 125^\circ - 60^\circ = 65^\circ$.
Ответ: $65^\circ$.

Угол $x$ — это вписанный угол. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Одна из хорд на рисунке является диаметром, так как проходит через центр окружности. Диаметр делит окружность на две полуокружности, каждая по $180^\circ$. Дуга, на которую опирается угол $x$, и дуга величиной $112^\circ$ вместе составляют одну из таких полуокружностей.
Следовательно, градусная мера дуги, на которую опирается угол $x$, равна: $180^\circ - 112^\circ = 68^\circ$.
Теперь находим величину угла $x$: $x = \frac{68^\circ}{2} = 34^\circ$.
Ответ: $34^\circ$.

Угол, равный $20^\circ$, является углом между двумя секущими, проведенными из одной точки вне окружности. Его величина равна полуразности градусных мер большей (дальней) и меньшей (ближней) дуг, высекаемых секущими. Ближняя высекаемая дуга равна $x$. Обозначим дальнюю высекаемую дугу как $y$.
Тогда справедливо равенство: $20^\circ = \frac{y - x}{2}$, что эквивалентно $y - x = 40^\circ$.
Сумма всех четырех дуг, на которые секущие делят окружность, равна $360^\circ$. Сумма двух дуг, не заключенных между секущими, по условию равна $215^\circ$. Следовательно, сумма дуг, заключенных между секущими ($x$ и $y$), равна: $x + y = 360^\circ - 215^\circ = 145^\circ$.
Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
1) $y - x = 40^\circ$
2) $y + x = 145^\circ$
Сложим эти два уравнения: $(y - x) + (y + x) = 40^\circ + 145^\circ$, что приводит к $2y = 185^\circ$, и, следовательно, $y = 92.5^\circ$.
Подставим найденное значение $y$ во второе уравнение, чтобы найти $x$: $92.5^\circ + x = 145^\circ$, откуда $x = 145^\circ - 92.5^\circ = 52.5^\circ$.
Ответ: $52.5^\circ$.

768 Центральный угол AOB на 30° больше вписанного угла, опирающегося на дугу AB. Найдите каждый из этих углов.

Пусть $x$ — градусная мера вписанного угла, опирающегося на дугу AB. Согласно свойству углов в окружности, центральный угол, опирающийся на ту же дугу, в два раза больше вписанного. Следовательно, центральный угол $\angle AOB$ равен $2x$.

Из условия задачи известно, что центральный угол на $30^\circ$ больше вписанного. На основе этого можно составить уравнение:
$2x = x + 30^\circ$

Решим полученное уравнение:
$2x - x = 30^\circ$
$x = 30^\circ$

Таким образом, мы нашли, что вписанный угол равен $30^\circ$. Теперь вычислим величину центрального угла $\angle AOB$:
$\angle AOB = 2x = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$

Проверка: разница между углами составляет $60^\circ - 30^\circ = 30^\circ$, что соответствует условию задачи.

Ответ: вписанный угол равен $30^\circ$, центральный угол — $60^\circ$.

769 Хорда AB стягивает дугу, равную 115°, а хорда АС — дугу в 43°. Найдите угол ВАС.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством вписанного угла: величина вписанного в окружность угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Угол $ \angle BAC $ является вписанным и опирается на дугу $BC$. Следовательно, $ \angle BAC = \frac{1}{2} \smile BC $.

Условие задачи не уточняет взаимное расположение точек B и C на окружности относительно точки A, поэтому существует два возможных случая.

Случай 1: Точки B и C расположены по одну сторону от диаметра, проходящего через точку A.

В этом случае одна из дуг, стягиваемых хордами, лежит внутри другой. Предположим, что точка C находится на дуге AB. Тогда дуга BC, на которую опирается искомый угол $ \angle BAC $, будет равна разности градусных мер дуг AB и AC.

Найдем градусную меру дуги BC:

$ \smile BC = \smile AB - \smile AC = 115^\circ - 43^\circ = 72^\circ $

Теперь найдем величину угла $ \angle BAC $:

$ \angle BAC = \frac{1}{2} \smile BC = \frac{1}{2} \times 72^\circ = 36^\circ $

Ответ: $36^\circ$.

Случай 2: Точки B и C расположены по разные стороны от диаметра, проходящего через точку A.

В этом случае точка A находится на дуге BC. Угол $ \angle BAC $ опирается на дугу BC, которая не содержит точку A. Вершины A, B, C образуют вписанный треугольник, и сумма дуг, на которые они делят окружность, равна $360^\circ$. Две из этих дуг даны в условии: $ \smile AB = 115^\circ $ и $ \smile AC = 43^\circ $.

Найдем градусную меру третьей дуги, $ \smile BC $, на которую опирается угол $ \angle BAC $:

$ \smile BC = 360^\circ - (\smile AB + \smile AC) = 360^\circ - (115^\circ + 43^\circ) $

$ \smile BC = 360^\circ - 158^\circ = 202^\circ $

Теперь найдем величину угла $ \angle BAC $:

$ \angle BAC = \frac{1}{2} \smile BC = \frac{1}{2} \times 202^\circ = 101^\circ $

Ответ: $101^\circ$.

770 Точки A и В разделяют окружность на две дуги, меньшая из которых равна 140°, а бо́льшая точкой М делится в отношении 6 : 5, считая от точки А. Найдите угол ВАМ.

Вся окружность составляет $360^\circ$. Точки A и B делят её на две дуги. По условию, меньшая дуга AB равна $140^\circ$.

1. Найдем градусную меру большей дуги AB. Для этого вычтем из полной окружности градусную меру меньшей дуги:
$360^\circ - 140^\circ = 220^\circ$.

2. Точка M делит большую дугу AB в отношении $6:5$, считая от точки A. Это означает, что большая дуга состоит из двух частей, дуги AM и дуги MB, причём $\text{дуга AM} : \text{дуга MB} = 6:5$.

3. Найдем градусные меры этих дуг. Пусть $x$ — это одна часть в данном отношении. Тогда градусная мера дуги AM равна $6x$, а дуги MB — $5x$. Сумма этих дуг равна градусной мере большей дуги AB:
$6x + 5x = 220^\circ$
$11x = 220^\circ$
$x = \frac{220^\circ}{11} = 20^\circ$

4. Теперь можем найти градусную меру дуги MB, на которую опирается искомый угол BAM:
$\text{дуга MB} = 5x = 5 \cdot 20^\circ = 100^\circ$.

5. Угол BAM — это вписанный угол. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Угол BAM опирается на дугу MB.
Следовательно, $\angle BAM = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга MB}$.
$\angle BAM = \frac{1}{2} \cdot 100^\circ = 50^\circ$.

Ответ: $50^\circ$.

771 В окружность вписан треугольник ABC так, что AB — диаметр окружности. Найдите углы треугольника, если: а) ◡BC = 134°; б) ◡АС = 70°.

Поскольку в окружность вписан треугольник $ABC$ и его сторона $AB$ является диаметром, то угол $C$, опирающийся на этот диаметр, является прямым. Это следует из свойства, что вписанный угол, опирающийся на полуокружность, равен $90^\circ$. Таким образом, $\angle C = 90^\circ$.

Величина любого вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

а) По условию, градусная мера дуги $BC$ равна $134^\circ$.

Угол $A$ ($\angle BAC$) опирается на дугу $BC$. Следовательно, его величина равна: $\angle A = \frac{1}{2} \cdot \cup BC = \frac{1}{2} \cdot 134^\circ = 67^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Зная углы $A$ и $C$, находим угол $B$: $\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 67^\circ - 90^\circ = 23^\circ$.

Ответ: углы треугольника равны $67^\circ, 23^\circ, 90^\circ$.

б) По условию, градусная мера дуги $AC$ равна $70^\circ$.

Угол $B$ ($\angle ABC$) опирается на дугу $AC$. Следовательно, его величина равна: $\angle B = \frac{1}{2} \cdot \cup AC = \frac{1}{2} \cdot 70^\circ = 35^\circ$.

Зная, что $\angle C = 90^\circ$ и $\angle B = 35^\circ$, находим угол $A$ из суммы углов треугольника: $\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 35^\circ - 90^\circ = 55^\circ$.

Ответ: углы треугольника равны $55^\circ, 35^\circ, 90^\circ$.

772 В окружность вписан равнобедренный треугольник ABC с основанием ВС. Найдите углы треугольника, если ◡ВС = 102°.

По условию, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $BC$. Это означает, что его боковые стороны равны ($AB = AC$), а углы при основании также равны ($\angle ABC = \angle BCA$).

Угол $\angle BAC$ является вписанным в окружность. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Угол $\angle BAC$ опирается на дугу $BC$.

Известно, что градусная мера дуги $BC$ ($\cup BC$) составляет $102^\circ$. Найдем величину угла $\angle BAC$: $\angle BAC = \frac{1}{2} \cdot \cup BC = \frac{1}{2} \cdot 102^\circ = 51^\circ$.

Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Для треугольника $ABC$ справедливо равенство: $\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ$.

Поскольку $\angle ABC = \angle BCA$, мы можем записать: $\angle BAC + 2 \cdot \angle ABC = 180^\circ$.

Подставим найденное значение угла $\angle BAC$: $51^\circ + 2 \cdot \angle ABC = 180^\circ$.

Теперь решим это уравнение относительно $\angle ABC$: $2 \cdot \angle ABC = 180^\circ - 51^\circ$
$2 \cdot \angle ABC = 129^\circ$
$\angle ABC = \frac{129^\circ}{2} = 64.5^\circ$.

Так как $\angle ABC = \angle BCA$, то $\angle BCA = 64.5^\circ$.

Ответ: углы треугольника равны $51^\circ$, $64.5^\circ$ и $64.5^\circ$.

773 Через точку А к данной окружности проведены касательная АB (В — точка касания) и секущая AD, проходящая через центр О (D — точка на окружности, О лежит между А и D). Найдите ∠BAD и ∠ADB, если ◡BD = 110°20′.

Для решения задачи воспользуемся свойствами углов, связанных с окружностью.

?BAD

1. Угол $?BAD$ образован касательной $AB$ и секущей $AD$, проведенными из одной точки $A$. Величина такого угла равна половине разности величин дуг, высекаемых его сторонами на окружности.

2. Секущая $AD$ проходит через центр $O$. Пусть она пересекает окружность в точках $C$ и $D$, причем точка $C$ лежит между $A$ и $O$. Тогда $CD$ — диаметр окружности, а высекаемые дуги это $\smile BD$ и $\smile BC$.

3. По условию, величина дуги $BD$ равна $110°20'$.

4. Дуги $\smile BD$ и $\smile BC$ вместе составляют полуокружность, так как $CD$ — диаметр. Величина полуокружности равна $180°$.
$\smile BC + \smile BD = 180°$
Следовательно, найдем величину дуги $BC$:
$\smile BC = 180° - \smile BD = 180° - 110°20' = 179°60' - 110°20' = 69°40'$.

5. Теперь вычислим угол $?BAD$ по формуле:
$?BAD = \frac{1}{2} (\smile BD - \smile BC)$
$?BAD = \frac{1}{2} (110°20' - 69°40')$
Для вычитания в скобках представим $110°20'$ как $109°80'$ (так как $1°=60'$):
$109°80' - 69°40' = 40°40'$
$?BAD = \frac{1}{2} (40°40') = 20°20'$.
Ответ: $?BAD = 20°20'$.

?ADB

1. Рассмотрим треугольник $BOD$. Стороны $OB$ и $OD$ являются радиусами окружности, поэтому $OB = OD$. Это значит, что треугольник $BOD$ — равнобедренный.

2. Угол $?BOD$ является центральным углом, который опирается на дугу $BD$. Величина центрального угла равна величине дуги, на которую он опирается.
$?BOD = \smile BD = 110°20'$.

3. В равнобедренном треугольнике $BOD$ углы при основании $BD$ равны: $?OBD = ?ODB$. Угол $?ADB$, который мы ищем, это тот же самый угол, что и $?ODB$.

4. Сумма углов в треугольнике равна $180°$. Для треугольника $BOD$ имеем:
$?BOD + ?OBD + ?ODB = 180°$
$110°20' + 2 \cdot ?ADB = 180°$

5. Найдем $?ADB$:
$2 \cdot ?ADB = 180° - 110°20' = 179°60' - 110°20' = 69°40'$
$?ADB = \frac{69°40'}{2} = 34°50'$
Ответ: $?ADB = 34°50'$.

774 Докажите, что градусные меры дуг окружности, заключённых между параллельными хордами, равны.

Для доказательства данного утверждения рассмотрим окружность с центром в точке $O$ и две параллельные хорды $AB$ и $CD$. Нам необходимо доказать, что дуги, заключённые между этими хордами, то есть дуга $AC$ и дуга $BD$, имеют равные градусные меры.

Дано:
Окружность.
Хорды $AB$ и $CD$.
$AB \parallel CD$.

Доказать:
Градусная мера дуги $AC$ равна градусной мере дуги $BD$ (обозначим как $?AC = ?BD$).

Доказательство:

Проведём хорду $AD$. Эта хорда является секущей для параллельных прямых, на которых лежат хорды $AB$ и $CD$.

По свойству параллельных прямых, внутренние накрест лежащие углы, образованные секущей, равны. В нашем случае это углы $\angle DAB$ и $\angle CDA$: $$ \angle DAB = \angle CDA $$

Угол $\angle DAB$ является вписанным в окружность и опирается на дугу $BD$. По теореме о вписанном угле, его величина равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается: $$ \angle DAB = \frac{1}{2} ?BD $$

Аналогично, угол $\angle CDA$ является вписанным в окружность и опирается на дугу $AC$. Его величина также равна половине градусной меры соответствующей дуги: $$ \angle CDA = \frac{1}{2} ?AC $$

Поскольку мы установили, что $\angle DAB = \angle CDA$, мы можем приравнять выражения для этих углов: $$ \frac{1}{2} ?BD = \frac{1}{2} ?AC $$

Умножив обе части равенства на 2, получаем: $$ ?BD = ?AC $$

Таким образом, мы доказали, что градусные меры дуг окружности, заключённых между параллельными хордами, равны. Четырехугольник $ACDB$, образованный концами хорд, является вписанной равнобокой трапецией.

Ответ: Что и требовалось доказать.

775 Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие, образующие угол в 32°. Бо́льшая дуга окружности, заключённая между сторонами этого угла, равна 100°. Найдите меньшую дугу.

Для решения этой задачи используется свойство угла, образованного двумя секущими, проведенными к окружности из одной точки. Величина такого угла равна половине разности большей и меньшей дуг, заключенных между сторонами этого угла.

Пусть $\alpha$ — угол между секущими, $\text{дуга}_1$ — большая дуга, а $\text{дуга}_2$ — меньшая дуга. Тогда формула для нахождения угла имеет вид:
$\alpha = \frac{\text{дуга}_1 - \text{дуга}_2}{2}$

Согласно условию задачи:
$\alpha = 32^\circ$
$\text{дуга}_1 = 100^\circ$

Необходимо найти меньшую дугу $\text{дуга}_2$. Подставим известные значения в формулу:
$32^\circ = \frac{100^\circ - \text{дуга}_2}{2}$

Решим полученное уравнение. Сначала умножим обе его части на 2:
$32^\circ \cdot 2 = 100^\circ - \text{дуга}_2$
$64^\circ = 100^\circ - \text{дуга}_2$

Теперь выразим из уравнения искомую величину $\text{дуга}_2$:
$\text{дуга}_2 = 100^\circ - 64^\circ$
$\text{дуга}_2 = 36^\circ$

Ответ: $36^\circ$

776 Найдите острый угол, образованный двумя секущими, проведёнными из точки, лежащей вне окружности, если дуги, заключённые между секущими, равны 140° и 52°.

Для нахождения угла, образованного двумя секущими, которые проведены из одной точки вне окружности, применяется теорема об угле между двумя секущими. Согласно этой теореме, величина такого угла равна половине разности величин дуг, которые заключены между его сторонами.

Пусть искомый острый угол равен $\alpha$.
По условию задачи, большая высекаемая дуга равна $140^\circ$.
Меньшая высекаемая дуга равна $52^\circ$.

Формула для расчета угла $\alpha$ имеет вид: $$ \alpha = \frac{\text{большая дуга} - \text{меньшая дуга}}{2} $$

Подставим в формулу числовые значения, данные в условии: $$ \alpha = \frac{140^\circ - 52^\circ}{2} $$

Выполним вычисления по шагам. Сначала найдем разность дуг: $$ 140^\circ - 52^\circ = 88^\circ $$

Теперь разделим полученное значение на 2: $$ \alpha = \frac{88^\circ}{2} = 44^\circ $$

Таким образом, искомый острый угол, образованный двумя секущими, равен $44^\circ$.

Ответ: $44^\circ$.

777 Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ◡AD = 54°, ◡ВС = 70°.

Для решения данной задачи используется теорема об угле между пересекающимися хордами. Согласно этой теореме, угол, образованный двумя пересекающимися внутри окружности хордами, равен полусумме градусных мер дуг, заключенных между его сторонами и сторонами вертикального ему угла.

В нашем случае хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$. Мы ищем угол $?BEC$. Вертикальным к нему является угол $?AED$. Угол $?BEC$ опирается на дугу $BC$, а угол $?AED$ опирается на дугу $AD$.

Следовательно, величину угла $?BEC$ можно найти по формуле:

$?BEC = \frac{1}{2} (\text{?}BC + \text{?}AD)$

По условию задачи даны градусные меры дуг:

$\text{?}AD = 54°$

$\text{?}BC = 70°$

Подставляем известные значения в формулу:

$?BEC = \frac{1}{2} (70° + 54°)$

Выполняем вычисления:

$?BEC = \frac{1}{2} (124°) = 62°$

Ответ: $62°$

778 Отрезок АС — диаметр окружности, AB — хорда, МА — касательная, угол МAB острый. Докажите, что ∠MAB = ∠ACB.

Доказательство

1. По свойству касательной, проведенной к окружности, она перпендикулярна радиусу (а следовательно, и диаметру), проведенному в точку касания. В нашей задаче $MA$ — касательная, а $AC$ — диаметр, проведенный в точку касания $A$. Следовательно, угол между ними прямой:
$\angle MAC = 90^\circ$.

2. Угол $\angle MAC$ состоит из двух углов: $\angle MAB$ и $\angle BAC$. Это означает, что:
$\angle MAB + \angle BAC = \angle MAC = 90^\circ$.
Из этого равенства мы можем выразить $\angle MAB$:
$\angle MAB = 90^\circ - \angle BAC$. (1)

3. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Угол $\angle ABC$ является вписанным углом, который опирается на диаметр $AC$. По теореме о вписанном угле, опирающемся на диаметр, этот угол является прямым:
$\angle ABC = 90^\circ$.

4. Так как $\triangle ABC$ — прямоугольный треугольник, сумма его острых углов равна $90^\circ$:
$\angle BAC + \angle ACB = 90^\circ$.
Из этого равенства выразим $\angle ACB$:
$\angle ACB = 90^\circ - \angle BAC$. (2)

5. Сравнивая правые части выражений (1) и (2), мы видим, что они равны. Следовательно, должны быть равны и левые части:
$\angle MAB = \angle ACB$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\angle MAB = \angle ACB$ доказано.