Страница 209 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

790 Докажите, что можно описать окружность: а) около любого прямоугольника; б) около любой равнобедренной трапеции.

а) Рассмотрим произвольный прямоугольник $ABCD$. Проведем в нем диагонали $AC$ и $BD$, которые пересекаются в точке $O$. По свойству прямоугольника, его диагонали равны ($AC = BD$) и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, отрезки, соединяющие точку $O$ с вершинами, равны между собой: $AO = BO = CO = DO$. Это означает, что точка пересечения диагоналей $O$ равноудалена от всех вершин прямоугольника. Таким образом, существует окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = AO$, которая проходит через все четыре вершины $A, B, C$ и $D$. Это доказывает, что около любого прямоугольника можно описать окружность.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Воспользуемся признаком четырехугольника, вокруг которого можно описать окружность: около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$.
Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По свойству равнобедренной трапеции, углы при каждом основании равны: $\angle A = \angle D$ и $\angle B = \angle C$.
Также, по свойству любой трапеции, сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Например, для стороны $AB$ имеем: $\angle A + \angle B = 180^\circ$.
Теперь проверим сумму противолежащих углов.

• Сумма углов $\angle A$ и $\angle C$. Так как $\angle B = \angle C$, мы можем подставить $\angle C$ в равенство $\angle A + \angle B = 180^\circ$ и получить $\angle A + \angle C = 180^\circ$.
• Сумма углов $\angle B$ и $\angle D$. Так как $\angle A = \angle D$, мы можем подставить $\angle D$ в равенство $\angle A + \angle B = 180^\circ$ и получить $\angle D + \angle B = 180^\circ$.

Поскольку суммы противолежащих углов трапеции равны $180^\circ$, условие выполняется, и, следовательно, около любой равнобедренной трапеции можно описать окружность.
Ответ: Что и требовалось доказать.

791 Докажите, что если около параллелограмма можно описать окружность, то этот параллелограмм — прямоугольник.

Для доказательства воспользуемся свойствами параллелограмма и свойствами четырехугольника, вписанного в окружность.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, вокруг которого описана окружность.

1. Свойство параллелограмма:
У любого параллелограмма противоположные углы равны.
То есть, $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$.

2. Свойство вписанного четырехугольника:
Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.
То есть, $\angle A + \angle C = 180^\circ$ и $\angle B + \angle D = 180^\circ$.

3. Совмещение свойств:
Рассмотрим пару углов $\angle A$ и $\angle C$. Из свойства параллелограмма мы знаем, что $\angle A = \angle C$. Из свойства вписанного четырехугольника мы знаем, что $\angle A + \angle C = 180^\circ$.
Подставим $\angle A$ вместо $\angle C$ в уравнение суммы:
$\angle A + \angle A = 180^\circ$
$2\angle A = 180^\circ$
$\angle A = 90^\circ$

Так как $\angle A = \angle C$, то $\angle C$ также равен $90^\circ$.

Аналогично для углов $\angle B$ и $\angle D$:
$\angle B + \angle D = 180^\circ$ и $\angle B = \angle D$
$\angle B + \angle B = 180^\circ$
$2\angle B = 180^\circ$
$\angle B = 90^\circ$

Следовательно, $\angle D$ также равен $90^\circ$.

Таким образом, все углы параллелограмма $ABCD$ равны $90^\circ$. Параллелограмм, у которого все углы прямые, по определению является прямоугольником.

Ответ: Что и требовалось доказать.

792 Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная.

Пусть $ABCD$ — трапеция, около которой описана окружность. Это означает, что все её вершины $A$, $B$, $C$ и $D$ лежат на этой окружности. По определению трапеции, две её стороны параллельны. Пусть основания $AD$ и $BC$ параллельны, то есть $AD \parallel BC$. Боковыми сторонами являются отрезки $AB$ и $CD$.

Требуется доказать, что трапеция $ABCD$ является равнобедренной, то есть её боковые стороны равны ($AB = CD$) или, что эквивалентно, углы при основании равны ($\angle A = \angle D$ и $\angle B = \angle C$).

Доказательство можно провести, используя свойства углов вписанного четырёхугольника.

По свойству любого четырёхугольника, вписанного в окружность, сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Для трапеции $ABCD$ это означает:

$\angle A + \angle C = 180^\circ$

В то же время, по свойству трапеции, сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, также равна $180^\circ$, поскольку они являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $CD$. Таким образом:

$\angle D + \angle C = 180^\circ$

Сравнивая два полученных равенства:

1) $\angle A + \angle C = 180^\circ$ (свойство вписанного четырёхугольника)
2) $\angle D + \angle C = 180^\circ$ (свойство трапеции)

Из этих двух равенств следует, что $\angle A = \angle D$.

Трапеция, у которой углы при одном из оснований равны, является равнобедренной. Это один из признаков равнобедренной трапеции. Таким образом, утверждение доказано.

Альтернативное, более короткое доказательство использует свойства дуг и хорд. Теорема гласит, что параллельные хорды в окружности высекают равные дуги. Так как $AD \parallel BC$, то дуги, заключенные между ними, равны: $\text{?}AB = \text{?}CD$. В свою очередь, равные дуги стягиваются равными хордами. Отсюда следует, что боковые стороны трапеции равны: $AB = CD$. Трапеция с равными боковыми сторонами является равнобедренной.

Ответ: Утверждение доказано.

793 В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АK, ВМ, СN, пересекающиеся в точке Н. Докажите, что около каждого из четырёхугольников СМНK, АМНN, ВNНK можно описать окружность.

Для доказательства того, что около четырёхугольника можно описать окружность, достаточно показать, что сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.

Рассмотрим четырёхугольник $CMHK$. По условию, $AK$ и $BM$ – высоты треугольника $ABC$, опущенные на стороны $BC$ и $AC$ соответственно. Это означает, что $AK \perp BC$ и $BM \perp AC$.
Следовательно, $\angle AKC = 90^\circ$ и $\angle BMC = 90^\circ$.
Поскольку точка $H$ является точкой пересечения высот, она лежит как на отрезке $AK$, так и на отрезке $BM$. Таким образом, углы $\angle HKC$ и $\angle HMC$ в четырёхугольнике $CMHK$ также являются прямыми: $\angle HKC = 90^\circ$ и $\angle HMC = 90^\circ$.
Углы $\angle HKC$ и $\angle HMC$ являются противоположными в четырёхугольнике $CMHK$. Найдём их сумму:
$\angle HKC + \angle HMC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.
Так как сумма противоположных углов четырёхугольника равна $180^\circ$, около него можно описать окружность. В данном случае, отрезок $CH$ будет являться диаметром этой окружности.
Ответ: Доказано, что около четырёхугольника $CMHK$ можно описать окружность.

Рассмотрим четырёхугольник $AMHN$. По условию, $BM$ и $CN$ – высоты, опущенные на стороны $AC$ и $AB$ соответственно, значит, $BM \perp AC$ и $CN \perp AB$.
Отсюда следует, что $\angle BMA = 90^\circ$ и $\angle CNA = 90^\circ$.
Точка $H$ лежит на высотах $BM$ и $CN$, поэтому $\angle HMA = 90^\circ$ и $\angle HNA = 90^\circ$.
В четырёхугольнике $AMHN$ углы $\angle HMA$ и $\angle HNA$ являются противоположными. Их сумма равна:
$\angle HMA + \angle HNA = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.
Так как сумма противоположных углов четырёхугольника равна $180^\circ$, около него можно описать окружность. Диаметром этой окружности будет отрезок $AH$.
Ответ: Доказано, что около четырёхугольника $AMHN$ можно описать окружность.

Рассмотрим четырёхугольник $BNHK$. По условию, $AK$ и $CN$ – высоты, опущенные на стороны $BC$ и $AB$ соответственно, значит, $AK \perp BC$ и $CN \perp AB$.
Отсюда следует, что $\angle AKB = 90^\circ$ и $\angle CNB = 90^\circ$.
Точка $H$ лежит на высотах $AK$ и $CN$, поэтому $\angle HKB = 90^\circ$ и $\angle HNB = 90^\circ$.
В четырёхугольнике $BNHK$ углы $\angle HKB$ и $\angle HNB$ являются противоположными. Их сумма равна:
$\angle HKB + \angle HNB = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.
Так как сумма противоположных углов четырёхугольника равна $180^\circ$, около него можно описать окружность. Диаметром этой окружности будет отрезок $BH$.
Ответ: Доказано, что около четырёхугольника $BNHK$ можно описать окружность.

794 Докажите, что если в четырёхугольник можно вписать окружность, то её центр является точкой пересечения биссектрис углов этого четырёхугольника.

Пусть в четырёхугольник можно вписать окружность. Обозначим центр этой окружности точкой $O$, а её радиус — $r$. По определению вписанной окружности, она касается всех четырёх сторон четырёхугольника.

Рассмотрим один из углов четырёхугольника, например, угол, образованный сторонами $AB$ и $AD$. Пусть окружность касается этих сторон в точках $K$ и $M$ соответственно.

Проведём радиусы $OK$ и $OM$ в точки касания. По свойству касательной, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $OK \perp AB$ и $OM \perp AD$.

Длины отрезков $OK$ и $OM$ являются расстояниями от центра окружности $O$ до сторон $AB$ и $AD$. Оба этих расстояния равны радиусу окружности: $OK = r$ и $OM = r$. Таким образом, $OK = OM$, что означает, что точка $O$ равноудалена от сторон угла $A$.

Геометрическим местом точек, равноудалённых от сторон угла, является его биссектриса. Так как точка $O$ равноудалена от сторон $AB$ и $AD$, она обязательно лежит на биссектрисе угла $A$.

Аналогичные рассуждения можно провести для каждого из оставшихся трёх углов четырёхугольника. Точка $O$ будет равноудалена от сторон, образующих угол $B$, следовательно, она лежит на биссектрисе угла $B$. Точно так же она лежит на биссектрисах углов $C$ и $D$.

Поскольку центр вписанной окружности $O$ принадлежит биссектрисам всех четырёх углов четырёхугольника, он является точкой пересечения этих биссектрис.

Ответ: Утверждение доказано. Центр окружности, вписанной в четырёхугольник, является точкой пересечения биссектрис углов этого четырёхугольника.

795 Докажите, что если около четырёхугольника можно описать окружность, то её центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого четырёхугольника.

Пусть дан четырёхугольник $ABCD$, около которого можно описать окружность. Обозначим центр этой окружности точкой $O$, а её радиус — $R$.

По определению, если окружность описана около четырёхугольника, то все его вершины ($A, B, C, D$) лежат на этой окружности. Это означает, что расстояние от центра окружности $O$ до каждой из вершин равно радиусу:
$OA = OB = OC = OD = R$.

Рассмотрим сторону $AB$ четырёхугольника как отрезок. Поскольку $OA = OB = R$, точка $O$ является точкой, равноудалённой от концов отрезка $AB$.

Известно, что геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от концов отрезка, — это серединный перпендикуляр к этому отрезку. Следовательно, точка $O$ должна лежать на серединном перпендикуляре к стороне $AB$.

Проведём аналогичные рассуждения для остальных сторон четырёхугольника:

• Так как $OB = OC$, точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $BC$.
• Так как $OC = OD$, точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $CD$.
• Так как $OD = OA$, точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $DA$.

Таким образом, точка $O$, которая является центром описанной окружности, принадлежит серединным перпендикулярам ко всем четырём сторонам данного четырёхугольника. Это по определению означает, что центр окружности $O$ является точкой пересечения этих серединных перпендикуляров.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Центр окружности, описанной около четырёхугольника, по определению равноудалён от всех его вершин. Каждая сторона четырёхугольника является хордой этой окружности. Геометрическое место точек, равноудалённых от концов отрезка (в данном случае — стороны), есть серединный перпендикуляр к этому отрезку. Следовательно, центр описанной окружности должен принадлежать серединному перпендикуляру к каждой из сторон, а значит, он является точкой их пересечения.

1 Исследуйте взаимное расположение прямой и окружности в зависимости от соотношения между радиусом окружности и расстоянием от её центра до прямой. Сформулируйте полученные выводы.

Для исследования взаимного расположения прямой и окружности введём следующие обозначения: пусть $r$ — радиус окружности, а $d$ — расстояние от центра окружности до прямой (то есть длина перпендикуляра, опущенного из центра на прямую). Взаимное расположение зависит от соотношения между $r$ и $d$. Рассмотрим все возможные случаи.

1. Расстояние от центра до прямой меньше радиуса ($d < r$)

В этом случае прямая пересекает окружность в двух различных точках. Такую прямую называют секущей. Чтобы доказать это, рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются перпендикуляр из центра на прямую (длиной $d$) и половина хорды, которую отсекает окружность на прямой, а гипотенузой — радиус $r$, проведённый в одну из точек пересечения. По теореме Пифагора, квадрат половины хорды равен $r^2 - d^2$. Так как по условию $d < r$, то $r^2 - d^2 > 0$. Это означает, что существует действительное положительное решение для длины половины хорды, а значит, есть две точки пересечения, симметричные относительно основания перпендикуляра.

Ответ: если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса ($d < r$), то прямая и окружность имеют две общие точки.

2. Расстояние от центра до прямой равно радиусу ($d = r$)

В этом случае прямая и окружность имеют ровно одну общую точку. Такую прямую называют касательной, а их общую точку — точкой касания. Расстояние от центра до прямой по определению есть длина перпендикуляра. Если эта длина равна радиусу, то основание этого перпендикуляра лежит на окружности. Эта точка и является единственной общей точкой, так как любая другая точка прямой будет удалена от центра на расстояние, большее чем $r$ (по свойству перпендикуляра и наклонной).

Ответ: если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу ($d = r$), то прямая и окружность имеют одну общую точку.

3. Расстояние от центра до прямой больше радиуса ($d > r$)

В этом случае прямая и окружность не имеют общих точек. Расстояние $d$ является наименьшим расстоянием от центра окружности до любой из точек данной прямой. Поскольку это наименьшее расстояние больше радиуса $r$, то любая точка прямой удалена от центра на расстояние, которое также больше $r$. Следовательно, ни одна точка прямой не может лежать на окружности.

Ответ: если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса ($d > r$), то прямая и окружность не имеют общих точек.

Выводы

На основании проведённого исследования можно сделать следующие выводы о взаимном расположении прямой и окружности:

• Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса ($d < r$), то прямая пересекает окружность в двух точках.
• Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу ($d = r$), то прямая касается окружности в одной точке.
• Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса ($d > r$), то прямая и окружность не имеют общих точек.

2 Объясните, как через данную точку окружности провести касательную к этой окружности.

Для того чтобы провести касательную к окружности через данную точку, лежащую на этой окружности, необходимо воспользоваться свойством касательной: касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и точка $A$, лежащая на этой окружности. Алгоритм построения касательной в точке $A$ с помощью циркуля и линейки будет следующим:

1. Соединяем центр окружности $O$ с точкой $A$. Получаем отрезок $OA$, который является радиусом окружности.

2. Строим прямую, которая проходит через точку $A$ и перпендикулярна радиусу $OA$. Это стандартная задача на построение перпендикуляра к прямой в заданной на ней точке.
а) Проводим прямую через точки $O$ и $A$.
б) Устанавливаем ножку циркуля в точку $A$ и проводим дугу произвольного радиуса $r$. Эта дуга пересечёт прямую $OA$ в двух точках. Обозначим их $B$ и $C$. Точка $A$ при этом будет являться серединой отрезка $BC$.
в) Из точек $B$ и $C$ как из центров проводим две дуги одинаковым радиусом $R$ (важно, чтобы $R$ был больше половины длины отрезка $BC$, то есть $R > r$) так, чтобы эти дуги пересеклись. Получаем две точки пересечения, назовём их $D$ и $E$.
г) С помощью линейки проводим прямую через точки $D$ и $E$.

Построенная прямая $DE$ проходит через точку $A$ и перпендикулярна прямой $OA$. Следовательно, прямая $DE$ является искомой касательной к окружности в точке $A$.

Ответ: Чтобы провести касательную к окружности через точку, лежащую на ней, нужно соединить эту точку с центром окружности, получив радиус, а затем построить прямую, перпендикулярную этому радиусу и проходящую через данную точку. Эта перпендикулярная прямая и будет касательной.

3 Объясните, почему две окружности не могут иметь три общие точки.

Данное утверждение можно доказать методом от противного.

Предположим, что существуют две различные окружности, которые имеют три общие точки. Обозначим эти точки $A$, $B$ и $C$.

Согласно основной аксиоме планиметрии, через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести только одну окружность.

Рассмотрим наши три общие точки $A$, $B$ и $C$. Эти точки не могут лежать на одной прямой, так как любая прямая может пересекать окружность не более чем в двух точках. Следовательно, точки $A$, $B$ и $C$ не являются коллинеарными.

Поскольку обе наши окружности по предположению проходят через три точки $A$, $B$ и $C$, которые не лежат на одной прямой, то, согласно упомянутой аксиоме, эти две окружности должны совпадать. То есть, это одна и та же окружность.

Это вступает в противоречие с нашим первоначальным условием, что мы рассматривали две различные окружности.

Следовательно, наше предположение было неверным. Две различные окружности не могут иметь три общие точки.

Ответ: Если бы две различные окружности имели три общие точки, то через эти три точки (которые не могут лежать на одной прямой) проходили бы две разные окружности. Это противоречит аксиоме о том, что через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность. Следовательно, две окружности не могут иметь три общие точки.

4 Исследуйте взаимное расположение двух окружностей в зависимости от их радиусов и расстояния между их центрами. Сформулируйте полученные выводы.

Для исследования взаимного расположения двух окружностей введем следующие обозначения: пусть $R_1$ и $R_2$ — радиусы первой и второй окружностей соответственно, а $d$ — расстояние между их центрами. Для удобства будем считать, что $R_1 \ge R_2$. Взаимное расположение окружностей зависит от соотношения между величиной $d$ и значениями $R_1 + R_2$ (сумма радиусов) и $R_1 - R_2$ (разность радиусов).

Рассмотрим все возможные случаи.

1. Окружности не пересекаются (одна расположена вне другой)

Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их радиусов, то эти окружности не имеют общих точек и каждая из них лежит вне другой. Математически это условие записывается как $d > R_1 + R_2$.
Ответ: Окружности не имеют общих точек и расположены одна вне другой при условии $d > R_1 + R_2$.

2. Внешнее касание окружностей

Если расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов, то окружности имеют одну общую точку. Такое расположение называется внешним касанием. Точка касания лежит на отрезке, соединяющем центры окружностей. Условие: $d = R_1 + R_2$.
Ответ: Окружности касаются внешним образом (имеют одну общую точку) при условии $d = R_1 + R_2$.

3. Пересечение окружностей

Если расстояние между центрами окружностей меньше суммы их радиусов, но больше их разности, то окружности пересекаются в двух точках. Условие: $R_1 - R_2 < d < R_1 + R_2$.
Ответ: Окружности пересекаются в двух точках при условии $R_1 - R_2 < d < R_1 + R_2$.

4. Внутреннее касание окружностей

Если радиусы окружностей не равны ($R_1 > R_2$) и расстояние между их центрами равно разности их радиусов, то окружности имеют одну общую точку. Такое расположение называется внутренним касанием. Меньшая окружность находится внутри большей. Условие: $d = R_1 - R_2$.
Ответ: Окружности касаются внутренним образом (имеют одну общую точку) при условии $d = R_1 - R_2$ и $R_1 \ne R_2$.

5. Окружности не пересекаются (одна расположена внутри другой)

Если расстояние между центрами меньше разности радиусов, то окружности не имеют общих точек, и одна из них (с меньшим радиусом) полностью лежит внутри другой (с большим радиусом). Условие: $0 \le d < R_1 - R_2$. Частным случаем является расположение, когда центры окружностей совпадают ($d=0$), но радиусы различны — такие окружности называются концентрическими.
Ответ: Окружности не имеют общих точек и одна расположена внутри другой при условии $0 \le d < R_1 - R_2$.

6. Совпадение окружностей

Если расстояние между центрами равно нулю и радиусы окружностей равны, то окружности полностью совпадают. В этом случае они имеют бесконечное множество общих точек. Условие: $d=0$ и $R_1 = R_2$.
Ответ: Окружности совпадают при условии $d=0$ и $R_1 = R_2$.

5 Как зависит количество общих касательных от взаимного расположения двух окружностей?

Количество общих касательных к двум окружностям зависит от их взаимного расположения. Взаимное расположение определяется соотношением между расстоянием между центрами окружностей ($d$) и их радиусами ($R$ и $r$). Рассмотрим все возможные случаи, для определенности будем считать, что $R \ge r$.

1. Окружности лежат одна вне другой и не касаются

Это происходит, когда расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов. Математически это условие записывается так: $d > R + r$. В этом случае можно провести две внешние общие касательные (окружности лежат по одну сторону от касательной) и две внутренние общие касательные (окружности лежат по разные стороны от касательной).
Ответ: 4 общих касательных.

2. Окружности касаются внешним образом

Это случай, когда окружности имеют одну общую точку и лежат одна вне другой. Расстояние между их центрами равно сумме радиусов: $d = R + r$. В этом положении существуют две внешние общие касательные и одна внутренняя общая касательная, которая проходит через точку касания окружностей.
Ответ: 3 общих касательных.

3. Окружности пересекаются в двух точках

Это происходит, когда расстояние между центрами меньше суммы радиусов, но больше их разности: $|R - r| < d < R + r$. В этом случае существуют только две общие касательные, и обе они являются внешними. Внутренних касательных провести невозможно.
Ответ: 2 общие касательные.

4. Окружности касаются внутренним образом

Это случай, когда окружности имеют одну общую точку, и одна окружность находится внутри другой. Расстояние между центрами равно разности радиусов: $d = R - r$ (при $R > r$). В этом положении существует только одна общая касательная, проходящая через точку касания.
Ответ: 1 общая касательная.

5. Одна окружность лежит внутри другой и не касается ее

Это происходит, когда одна окружность полностью находится внутри другой, не имея с ней общих точек. Расстояние между центрами меньше разности радиусов: $d < R - r$. Сюда же относится и случай концентрических окружностей (центры совпадают, $d=0$), если их радиусы не равны. В таком положении общих касательных у окружностей нет.
Ответ: 0 общих касательных.

6. Окружности совпадают

Это особый случай, когда центры окружностей совпадают ($d = 0$) и их радиусы равны ($R = r$). В этом случае окружности полностью накладываются друг на друга. Любая касательная к одной окружности является касательной и к другой.
Ответ: бесконечно много общих касательных.

6 Какой угол называется центральным углом окружности?

6 Центральным углом окружности называется плоский угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а его стороны являются радиусами этой окружности.

Рассмотрим окружность с центром в точке $O$. Если на окружности отметить две различные точки $A$ и $B$, то угол $\angle AOB$, образованный лучами $OA$ и $OB$, будет являться центральным углом. Стороны этого угла, отрезки $OA$ и $OB$, — это радиусы данной окружности.

Центральный угол делит окружность на две дуги. Важнейшим свойством центрального угла является то, что его градусная мера по определению равна градусной мере соответствующей ему дуги окружности (той, что находится внутри угла).

Таким образом, для центрального угла $\angle AOB$ и дуги $AB$, на которую он опирается, справедливо равенство: $\angle AOB = \cup AB$. Например, если дуга $AB$ составляет $90^\circ$, то и центральный угол $\angle AOB$, опирающийся на эту дугу, будет равен $90^\circ$.

Ответ: Угол с вершиной в центре окружности, стороны которого являются ее радиусами.

7 Объясните, какая дуга называется полуокружностью, какая дуга меньше полуокружности, а какая больше полуокружности.

какая дуга называется полуокружностью

Любой отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через её центр, называется диаметром. Диаметр делит окружность на две равные части. Каждая из этих частей называется полуокружностью.

Градусная мера всей окружности составляет $360^\circ$. Следовательно, градусная мера полуокружности равна половине этой величины, то есть $360^\circ / 2 = 180^\circ$. Центральный угол, который опирается на концы диаметра, является развёрнутым, и его величина также равна $180^\circ$.

Ответ: Полуокружностью называется дуга, концы которой являются концами диаметра, и её градусная мера равна $180^\circ$.

какая дуга меньше полуокружности

Если две точки на окружности соединить хордой, которая не является диаметром, то окружность разделится на две неравные дуги. Та из них, градусная мера которой меньше $180^\circ$, называется дугой, меньшей полуокружности. Такую дугу также называют малой дугой.

Центральный угол, соответствующий такой дуге, всегда будет меньше развернутого угла, то есть его величина будет в диапазоне $(0^\circ, 180^\circ)$.

Ответ: Дуга, меньшая полуокружности, — это дуга, градусная мера которой строго меньше $180^\circ$.

какая дуга больше полуокружности

Хорда, не проходящая через центр окружности, делит её на две дуги: одну меньшую полуокружности, а другую — большую. Дуга, градусная мера которой больше $180^\circ$, называется дугой, большей полуокружности. Такую дугу также называют большой дугой.

Большая и малая дуги с общими концами вместе составляют полную окружность. Например, если градусная мера малой дуги равна $120^\circ$, то градусная мера соответствующей ей большой дуги будет равна $360^\circ - 120^\circ = 240^\circ$.

Ответ: Дуга, большая полуокружности, — это дуга, градусная мера которой строго больше $180^\circ$.

8 Как определяется градусная мера дуги? Как она обозначается?

Как определяется градусная мера дуги?

Градусная мера дуги окружности определяется величиной центрального угла, который на неё опирается. Центральный угол — это угол с вершиной в центре окружности, стороны которого пересекают окружность в конечных точках этой дуги.

Различают два основных случая:

• Градусная мера дуги, не превышающей полуокружность (то есть не более $180^\circ$), равна градусной мере соответствующего ей центрального угла. Например, если центральный угол $\angle AOB$ равен $75^\circ$, то и градусная мера дуги $\smile AB$, на которую он опирается, также составляет $75^\circ$.

• Градусная мера дуги, которая больше полуокружности (более $180^\circ$), вычисляется как разность между $360^\circ$ (градусная мера всей окружности) и градусной мерой меньшей дуги с теми же концами. Например, если малая дуга $\smile AB$ равна $100^\circ$, то большая дуга, которую можно обозначить как $\smile AKB$ (где $K$ — точка на этой дуге), будет равна $360^\circ - 100^\circ = 260^\circ$.

Из этого следует, что градусная мера всей окружности составляет $360^\circ$, а полуокружности, которая стягивается диаметром, — $180^\circ$.

Ответ: Градусная мера дуги определяется градусной мерой соответствующего ей центрального угла. Для дуги, большей полуокружности, её мера равна $360^\circ$ минус мера дополнительной дуги.

Как она обозначается?

Для обозначения самой дуги как геометрической фигуры используют её конечные точки, над которыми ставится специальный символ: $\smile AB$.

Поскольку две точки на окружности определяют две дуги (меньшую и большую), для однозначности часто используют третью точку, лежащую на дуге. Например, если $C$ — точка на большей дуге, а $D$ — на меньшей, то дуги будут обозначаться как $\smile ACB$ и $\smile ADB$ соответственно. Если третья точка не указана, под обозначением $\smile AB$ обычно понимают меньшую из двух дуг.

Градусная мера дуги обозначается с использованием знака градуса ($^\circ$). Например, запись «градусная мера дуги $AB$ равна 90 градусам» выглядит так:

$\smile AB = 90^\circ$

Ответ: Дуга обозначается символом $\smile$ и точками её концов (например, $\smile AB$). Её градусная мера записывается как равенство, например, $\smile AB = 60^\circ$.

9 Какой угол называется вписанным? Сформулируйте и докажите теорему о вписанном угле.

Вписанным углом окружности называется угол, вершина которого лежит на окружности, а его стороны пересекают эту окружность. Стороны вписанного угла являются хордами данной окружности.

Дуга, расположенная внутри угла и ограниченная точками пересечения сторон угла с окружностью, называется дугой, на которую опирается вписанный угол.

Ответ: Вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности, а его стороны являются хордами этой окружности.

Формулировка теоремы:

Вписанный угол равен половине угловой меры дуги, на которую он опирается.

Доказательство:

Пусть в окружности с центром в точке $O$ дан вписанный угол $\angle ABC$, который опирается на дугу $AC$. Для доказательства необходимо рассмотреть три возможных случая расположения центра окружности $O$ относительно сторон угла $\angle ABC$.

Случай 1: Одна из сторон угла, например луч $BC$, совпадает с диаметром окружности.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Он является равнобедренным, так как стороны $OA$ и $OB$ равны как радиусы одной окружности. Следовательно, углы при основании $AB$ равны: $\angle OAB = \angle OBA$.

Угол $\angle AOC$ — центральный угол, опирающийся на дугу $AC$. Также он является внешним углом для треугольника $\triangle AOB$. По свойству внешнего угла, его мера равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle AOC = \angle OAB + \angle OBA$.

Поскольку $\angle OAB = \angle OBA = \angle ABC$, то $\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC$.

Угловая мера дуги $\wideparen{AC}$ равна мере центрального угла $\angle AOC$. Отсюда получаем: $\angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2} \wideparen{AC}$.

Случай 2: Центр окружности $O$ лежит внутри вписанного угла $\angle ABC$.

Проведем через вершину угла $B$ и центр $O$ диаметр $BD$. Этот диаметр разделит угол $\angle ABC$ на два угла: $\angle ABD$ и $\angle DBC$. Дуга $\wideparen{AC}$ также будет разделена на две дуги: $\wideparen{AD}$ и $\wideparen{DC}$.

Для каждого из углов $\angle ABD$ и $\angle DBC$ выполняется условие случая 1 (одна из сторон является частью диаметра). Следовательно, для них справедливы равенства:

$\angle ABD = \frac{1}{2} \wideparen{AD}$

$\angle DBC = \frac{1}{2} \wideparen{DC}$

Сложив эти два равенства, получаем:

$\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = \frac{1}{2} \wideparen{AD} + \frac{1}{2} \wideparen{DC} = \frac{1}{2} (\wideparen{AD} + \wideparen{DC}) = \frac{1}{2} \wideparen{AC}$.

Случай 3: Центр окружности $O$ лежит вне вписанного угла $\angle ABC$.

Проведем через вершину угла $B$ и центр $O$ диаметр $BD$. В этом случае искомый угол $\angle ABC$ можно представить как разность двух углов, для каждого из которых выполняется условие случая 1:

$\angle ABC = \angle ABD - \angle CBD$

Соответствующая дуга $\wideparen{AC}$ является разностью дуг $\wideparen{AD}$ и $\wideparen{CD}$.

Применяя результат случая 1, имеем:

$\angle ABD = \frac{1}{2} \wideparen{AD}$

$\angle CBD = \frac{1}{2} \wideparen{CD}$

Вычитая второе равенство из первого, получаем:

$\angle ABC = \angle ABD - \angle CBD = \frac{1}{2} \wideparen{AD} - \frac{1}{2} \wideparen{CD} = \frac{1}{2} (\wideparen{AD} - \wideparen{CD}) = \frac{1}{2} \wideparen{AC}$.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные случаи и доказали, что вписанный угол всегда измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Теорема доказана.

Ответ: Теорема о вписанном угле гласит, что величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается.

10 Докажите, что вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся теоремой о вписанном угле. Теорема гласит, что величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается.

Рассмотрим окружность. Пусть на этой окружности лежат точки $A$ и $B$, которые определяют дугу $\stackrel{\frown}{AB}$.

Пусть $\angle ACB$ и $\angle ADB$ — это два произвольных вписанных угла, которые опираются на одну и ту же дугу $\stackrel{\frown}{AB}$. Это означает, что вершины углов, точки $C$ и $D$, также лежат на окружности (на дуге, дополняющей дугу $\stackrel{\frown}{AB}$ до полной окружности).

Согласно теореме о вписанном угле, величина угла $\angle ACB$ равна половине градусной меры дуги $\stackrel{\frown}{AB}$. Запишем это в виде формулы:
$\angle ACB = \frac{1}{2} \cdot \text{величина дуги } \stackrel{\frown}{AB}$

Аналогично, для угла $\angle ADB$, который опирается на ту же самую дугу $\stackrel{\frown}{AB}$, его величина будет равна:
$\angle ADB = \frac{1}{2} \cdot \text{величина дуги } \stackrel{\frown}{AB}$

Так как правые части обоих равенств одинаковы (обе равны половине величины одной и той же дуги $\stackrel{\frown}{AB}$), то и левые части этих равенств также должны быть равны между собой:
$\angle ACB = \angle ADB$

Таким образом, мы доказали, что любые вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой.

Ответ: Утверждение доказано. Так как величина любого вписанного угла равна половине дуги, на которую он опирается, а все рассматриваемые углы опираются на одну и ту же дугу, то все они равны половине величины этой дуги, а значит, равны между собой.