Номер 2, страница 209 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 9. § 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Глава 9. Окружность - номер 2, страница 209.

2 Объясните, как через данную точку окружности провести касательную к этой окружности.

Для того чтобы провести касательную к окружности через данную точку, лежащую на этой окружности, необходимо воспользоваться свойством касательной: касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и точка $A$, лежащая на этой окружности. Алгоритм построения касательной в точке $A$ с помощью циркуля и линейки будет следующим:

1. Соединяем центр окружности $O$ с точкой $A$. Получаем отрезок $OA$, который является радиусом окружности.

2. Строим прямую, которая проходит через точку $A$ и перпендикулярна радиусу $OA$. Это стандартная задача на построение перпендикуляра к прямой в заданной на ней точке.
а) Проводим прямую через точки $O$ и $A$.
б) Устанавливаем ножку циркуля в точку $A$ и проводим дугу произвольного радиуса $r$. Эта дуга пересечёт прямую $OA$ в двух точках. Обозначим их $B$ и $C$. Точка $A$ при этом будет являться серединой отрезка $BC$.
в) Из точек $B$ и $C$ как из центров проводим две дуги одинаковым радиусом $R$ (важно, чтобы $R$ был больше половины длины отрезка $BC$, то есть $R > r$) так, чтобы эти дуги пересеклись. Получаем две точки пересечения, назовём их $D$ и $E$.
г) С помощью линейки проводим прямую через точки $D$ и $E$.

Построенная прямая $DE$ проходит через точку $A$ и перпендикулярна прямой $OA$. Следовательно, прямая $DE$ является искомой касательной к окружности в точке $A$.

Ответ: Чтобы провести касательную к окружности через точку, лежащую на ней, нужно соединить эту точку с центром окружности, получив радиус, а затем построить прямую, перпендикулярную этому радиусу и проходящую через данную точку. Эта перпендикулярная прямая и будет касательной.