Номер 1, страница 209 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Окружность. Параграф 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Вопросы для повторения к главе 9 - номер 1, страница 209.

Условие.

1 Исследуйте взаимное расположение прямой и окружности в зависимости от соотношения между радиусом окружности и расстоянием от её центра до прямой. Сформулируйте полученные выводы.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 10.

Решение 11.

Для исследования взаимного расположения прямой и окружности введём следующие обозначения: пусть $r$ — радиус окружности, а $d$ — расстояние от центра окружности до прямой (то есть длина перпендикуляра, опущенного из центра на прямую). Взаимное расположение зависит от соотношения между $r$ и $d$. Рассмотрим все возможные случаи.

1. Расстояние от центра до прямой меньше радиуса ($d < r$)

В этом случае прямая пересекает окружность в двух различных точках. Такую прямую называют секущей. Чтобы доказать это, рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются перпендикуляр из центра на прямую (длиной $d$) и половина хорды, которую отсекает окружность на прямой, а гипотенузой — радиус $r$, проведённый в одну из точек пересечения. По теореме Пифагора, квадрат половины хорды равен $r^2 - d^2$. Так как по условию $d < r$, то $r^2 - d^2 > 0$. Это означает, что существует действительное положительное решение для длины половины хорды, а значит, есть две точки пересечения, симметричные относительно основания перпендикуляра.

Ответ: если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса ($d < r$), то прямая и окружность имеют две общие точки.

2. Расстояние от центра до прямой равно радиусу ($d = r$)

В этом случае прямая и окружность имеют ровно одну общую точку. Такую прямую называют касательной, а их общую точку — точкой касания. Расстояние от центра до прямой по определению есть длина перпендикуляра. Если эта длина равна радиусу, то основание этого перпендикуляра лежит на окружности. Эта точка и является единственной общей точкой, так как любая другая точка прямой будет удалена от центра на расстояние, большее чем $r$ (по свойству перпендикуляра и наклонной).

Ответ: если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу ($d = r$), то прямая и окружность имеют одну общую точку.

3. Расстояние от центра до прямой больше радиуса ($d > r$)

В этом случае прямая и окружность не имеют общих точек. Расстояние $d$ является наименьшим расстоянием от центра окружности до любой из точек данной прямой. Поскольку это наименьшее расстояние больше радиуса $r$, то любая точка прямой удалена от центра на расстояние, которое также больше $r$. Следовательно, ни одна точка прямой не может лежать на окружности.

Ответ: если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса ($d > r$), то прямая и окружность не имеют общих точек.

Выводы

На основании проведённого исследования можно сделать следующие выводы о взаимном расположении прямой и окружности:

• Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса ($d < r$), то прямая пересекает окружность в двух точках.
• Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу ($d = r$), то прямая касается окружности в одной точке.
• Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса ($d > r$), то прямая и окружность не имеют общих точек.