Номер 790, страница 209 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

83. Описанная окружность. § 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Глава 9. Окружность - номер 790, страница 209.

790 Докажите, что можно описать окружность: а) около любого прямоугольника; б) около любой равнобедренной трапеции.

а) Рассмотрим произвольный прямоугольник $ABCD$. Проведем в нем диагонали $AC$ и $BD$, которые пересекаются в точке $O$. По свойству прямоугольника, его диагонали равны ($AC = BD$) и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, отрезки, соединяющие точку $O$ с вершинами, равны между собой: $AO = BO = CO = DO$. Это означает, что точка пересечения диагоналей $O$ равноудалена от всех вершин прямоугольника. Таким образом, существует окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = AO$, которая проходит через все четыре вершины $A, B, C$ и $D$. Это доказывает, что около любого прямоугольника можно описать окружность.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Воспользуемся признаком четырехугольника, вокруг которого можно описать окружность: около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$.
Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По свойству равнобедренной трапеции, углы при каждом основании равны: $\angle A = \angle D$ и $\angle B = \angle C$.
Также, по свойству любой трапеции, сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Например, для стороны $AB$ имеем: $\angle A + \angle B = 180^\circ$.
Теперь проверим сумму противолежащих углов.

• Сумма углов $\angle A$ и $\angle C$. Так как $\angle B = \angle C$, мы можем подставить $\angle C$ в равенство $\angle A + \angle B = 180^\circ$ и получить $\angle A + \angle C = 180^\circ$.
• Сумма углов $\angle B$ и $\angle D$. Так как $\angle A = \angle D$, мы можем подставить $\angle D$ в равенство $\angle A + \angle B = 180^\circ$ и получить $\angle D + \angle B = 180^\circ$.

Поскольку суммы противолежащих углов трапеции равны $180^\circ$, условие выполняется, и, следовательно, около любой равнобедренной трапеции можно описать окружность.
Ответ: Что и требовалось доказать.