Номер 789, страница 208 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

83. Описанная окружность. § 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Глава 9. Окружность - номер 789, страница 208.

789 Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.

Для доказательства того, что в любой ромб можно вписать окружность, воспользуемся свойством многоугольников, в которые можно вписать окружность. Окружность можно вписать в выпуклый многоугольник тогда и только тогда, когда все биссектрисы его внутренних углов пересекаются в одной точке. Эта точка и будет центром вписанной окружности.

Рассмотрим произвольный ромб $ABCD$. Пусть его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

Вспомним основные свойства ромба:

1. Все стороны ромба равны ($AB = BC = CD = DA$).
2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Из второго свойства следует, что диагональ $AC$ является биссектрисой углов $\angle DAB$ и $\angle BCD$, а диагональ $BD$ является биссектрисой углов $\angle ABC$ и $\angle CDA$.

Поскольку диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, то в этой же точке пересекаются и все четыре биссектрисы углов ромба. Таким образом, мы нашли точку, которая является кандидатом на центр вписанной окружности.

Теперь нужно показать, что эта точка $O$ равноудалена от всех сторон ромба. Воспользуемся свойством биссектрисы угла: любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон.

• Так как точка $O$ лежит на биссектрисе угла $\angle A$ (диагонали $AC$), расстояние от $O$ до стороны $AB$ равно расстоянию от $O$ до стороны $AD$.
• Так как точка $O$ лежит на биссектрисе угла $\angle B$ (диагонали $BD$), расстояние от $O$ до стороны $AB$ равно расстоянию от $O$ до стороны $BC$.

Объединив эти два утверждения, мы получаем, что расстояние от точки $O$ до сторон $AD$, $AB$ и $BC$ одинаково. Продолжая аналогичные рассуждения для углов $\angle C$ и $\angle D$, мы приходим к выводу, что точка $O$ равноудалена от всех четырех сторон ромба.

Это означает, что можно построить окружность с центром в точке $O$ (точке пересечения диагоналей) и радиусом, равным этому расстоянию. Эта окружность будет касаться всех четырех сторон ромба, то есть будет вписанной в него.

Таким образом, доказано, что в любой ромб можно вписать окружность.

Альтернативное доказательство:

Существует теорема, согласно которой в выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны.

Пусть сторона ромба равна $a$. Тогда $AB = BC = CD = DA = a$.

Проверим суммы противолежащих сторон:

$AB + CD = a + a = 2a$

$BC + DA = a + a = 2a$

Поскольку $AB + CD = BC + DA$, условие теоремы выполняется. Следовательно, в любой ромб можно вписать окружность.

Ответ: Что и требовалось доказать.