Номер 786, страница 208 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Окружность. Параграф 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. 83. Описанная окружность - номер 786, страница 208.

Условие.

786 Докажите, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 8.

Решение 9.

Решение 11.

Пусть дан произвольный выпуклый многоугольник $A_1A_2...A_n$, описанный около окружности. Это означает, что все его стороны касаются этой окружности, которая называется вписанной.

Обозначим:

• $S$ — площадь многоугольника.
• $P$ — периметр многоугольника.
• $O$ — центр вписанной окружности.
• $r$ — радиус вписанной окружности.
• $a_1, a_2, ..., a_n$ — длины сторон многоугольника: $a_1 = A_1A_2, a_2 = A_2A_3, ..., a_n = A_nA_1$.

Соединим центр вписанной окружности $O$ отрезками с каждой из вершин многоугольника: $A_1, A_2, ..., A_n$. В результате многоугольник будет разбит на $n$ треугольников: $\triangle OA_1A_2, \triangle OA_2A_3, ..., \triangle OA_nA_1$.

Площадь всего многоугольника $S$ будет равна сумме площадей этих треугольников:
$S = S_{\triangle OA_1A_2} + S_{\triangle OA_2A_3} + ... + S_{\triangle OA_nA_1}$

Рассмотрим площадь любого из этих треугольников, например, $\triangle OA_1A_2$. Основанием этого треугольника является сторона многоугольника $A_1A_2$, длина которой равна $a_1$. Высота, проведенная из вершины $O$ к основанию $A_1A_2$, — это перпендикуляр, опущенный из центра окружности на сторону многоугольника.

По определению описанного многоугольника, его сторона $A_1A_2$ является касательной к вписанной окружности. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, длина этой высоты в точности равна радиусу вписанной окружности $r$.

Площадь треугольника $\triangle OA_1A_2$ вычисляется как половина произведения его основания на высоту:
$S_{\triangle OA_1A_2} = \frac{1}{2} \cdot a_1 \cdot r$

Аналогично вычисляются площади всех остальных треугольников:
$S_{\triangle OA_2A_3} = \frac{1}{2} \cdot a_2 \cdot r$
...
$S_{\triangle OA_nA_1} = \frac{1}{2} \cdot a_n \cdot r$

Теперь найдем общую площадь многоугольника $S$ как сумму площадей этих треугольников:
$S = \frac{1}{2} a_1 r + \frac{1}{2} a_2 r + ... + \frac{1}{2} a_n r$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}r$ за скобки:
$S = \frac{1}{2} r (a_1 + a_2 + ... + a_n)$

Сумма в скобках представляет собой сумму длин всех сторон многоугольника, что является его периметром $P$:
$P = a_1 + a_2 + ... + a_n$

Подставив $P$ в выражение для площади $S$, получаем искомую формулу:
$S = \frac{1}{2} P \cdot r$

Таким образом, доказано, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

Ответ: Доказательство основано на разбиении многоугольника на треугольники с общей вершиной в центре вписанной окружности. Площадь каждого такого треугольника равна $\frac{1}{2} a_i r$, где $a_i$ — сторона многоугольника, а $r$ — радиус вписанной окружности. Суммируя площади всех треугольников, получаем формулу: $S = \frac{1}{2} P \cdot r$, где $S$ — площадь, $P$ — периметр. Что и требовалось доказать.