Номер 786, страница 208 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

83. Описанная окружность. § 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Глава 9. Окружность - номер 786, страница 208.

786 Докажите, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

Пусть дан произвольный выпуклый многоугольник $A_1A_2...A_n$, описанный около окружности. Это означает, что все его стороны касаются этой окружности, которая называется вписанной.

Обозначим:

• $S$ — площадь многоугольника.
• $P$ — периметр многоугольника.
• $O$ — центр вписанной окружности.
• $r$ — радиус вписанной окружности.
• $a_1, a_2, ..., a_n$ — длины сторон многоугольника: $a_1 = A_1A_2, a_2 = A_2A_3, ..., a_n = A_nA_1$.

Соединим центр вписанной окружности $O$ отрезками с каждой из вершин многоугольника: $A_1, A_2, ..., A_n$. В результате многоугольник будет разбит на $n$ треугольников: $\triangle OA_1A_2, \triangle OA_2A_3, ..., \triangle OA_nA_1$.

Площадь всего многоугольника $S$ будет равна сумме площадей этих треугольников:
$S = S_{\triangle OA_1A_2} + S_{\triangle OA_2A_3} + ... + S_{\triangle OA_nA_1}$

Рассмотрим площадь любого из этих треугольников, например, $\triangle OA_1A_2$. Основанием этого треугольника является сторона многоугольника $A_1A_2$, длина которой равна $a_1$. Высота, проведенная из вершины $O$ к основанию $A_1A_2$, — это перпендикуляр, опущенный из центра окружности на сторону многоугольника.

По определению описанного многоугольника, его сторона $A_1A_2$ является касательной к вписанной окружности. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, длина этой высоты в точности равна радиусу вписанной окружности $r$.

Площадь треугольника $\triangle OA_1A_2$ вычисляется как половина произведения его основания на высоту:
$S_{\triangle OA_1A_2} = \frac{1}{2} \cdot a_1 \cdot r$

Аналогично вычисляются площади всех остальных треугольников:
$S_{\triangle OA_2A_3} = \frac{1}{2} \cdot a_2 \cdot r$
...
$S_{\triangle OA_nA_1} = \frac{1}{2} \cdot a_n \cdot r$

Теперь найдем общую площадь многоугольника $S$ как сумму площадей этих треугольников:
$S = \frac{1}{2} a_1 r + \frac{1}{2} a_2 r + ... + \frac{1}{2} a_n r$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}r$ за скобки:
$S = \frac{1}{2} r (a_1 + a_2 + ... + a_n)$

Сумма в скобках представляет собой сумму длин всех сторон многоугольника, что является его периметром $P$:
$P = a_1 + a_2 + ... + a_n$

Подставив $P$ в выражение для площади $S$, получаем искомую формулу:
$S = \frac{1}{2} P \cdot r$

Таким образом, доказано, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

Ответ: Доказательство основано на разбиении многоугольника на треугольники с общей вершиной в центре вписанной окружности. Площадь каждого такого треугольника равна $\frac{1}{2} a_i r$, где $a_i$ — сторона многоугольника, а $r$ — радиус вписанной окружности. Суммируя площади всех треугольников, получаем формулу: $S = \frac{1}{2} P \cdot r$, где $S$ — площадь, $P$ — периметр. Что и требовалось доказать.