Номер 780, страница 206 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Центральные и вписанные углы. 81. Углы, образованные хордами, касательными и секущими. Глава 9. Окружность - номер 780, страница 206.

780 Докажите, что перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые основание перпендикуляра делит диаметр.

Пусть дана окружность, AB — её диаметр, а C — произвольная точка на окружности, отличная от A и B. Проведём из точки C перпендикуляр CH к диаметру AB, где H — основание перпендикуляра, лежащее на отрезке AB.

Необходимо доказать, что длина перпендикуляра CH является средним пропорциональным (или средним геометрическим) для длин отрезков AH и HB, на которые точка H делит диаметр. То есть, требуется доказать равенство: $CH^2 = AH \cdot HB$.

Доказательство:

1. Соединим точку C с концами диаметра A и B. В результате получим треугольник ABC.

2. Угол ACB является вписанным углом, который опирается на диаметр AB. По свойству вписанного угла, опирающегося на диаметр, его величина составляет 90°. Следовательно, треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом при вершине C ($?ACB = 90°$).

3. Отрезок CH, согласно построению, перпендикулярен гипотенузе AB. Таким образом, CH является высотой прямоугольного треугольника ABC, проведённой из вершины прямого угла.

4. Эта высота делит прямоугольный треугольник ABC на два меньших прямоугольных треугольника: $\triangle ACH$ и $\triangle CBH$. Докажем, что эти треугольники подобны.

5. Пусть $?CAB = \alpha$. Так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике ABC равна 90°, то $?CBA = 90° - \alpha$.

6. Теперь рассмотрим $\triangle ACH$. Он прямоугольный ($?AHC = 90°$), и один из его острых углов $?CAH = \alpha$. Тогда другой острый угол $?ACH = 90° - \alpha$.

7. Рассмотрим $\triangle CBH$. Он также прямоугольный ($?CHB = 90°$), и один из его острых углов $?HBC = 90° - \alpha$. Тогда другой острый угол $?BCH = 90° - (90° - \alpha) = \alpha$.

8. Таким образом, у треугольников $\triangle ACH$ и $\triangle CBH$ углы соответственно равны: $?CAH = ?BCH = \alpha$, $?ACH = ?CBH = 90° - \alpha$ и $?AHC = ?CHB = 90°$. Следовательно, треугольники подобны по трём углам: $ \triangle ACH \sim \triangle CBH $.

9. Из подобия треугольников следует, что их соответствующие стороны пропорциональны. Составим пропорцию для катетов. Катет AH из $\triangle ACH$ (лежащий против угла $90° - \alpha$) относится к катету CH из $\triangle CBH$ (лежащему против угла $90° - \alpha$) так же, как катет CH из $\triangle ACH$ (лежащий против угла $\alpha$) относится к катету HB из $\triangle CBH$ (лежащему против угла $\alpha$).

Запишем это отношение:$ \frac{AH}{CH} = \frac{CH}{HB} $

10. Используя основное свойство пропорции (произведение средних членов равно произведению крайних), получим:$ CH \cdot CH = AH \cdot HB $$ CH^2 = AH \cdot HB $

Таким образом, мы доказали, что перпендикуляр, проведённый из точки окружности к диаметру, является средним пропорциональным для отрезков, на которые основание перпендикуляра делит диаметр.

Ответ: Утверждение доказано.