Номер 774, страница 205 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Центральные и вписанные углы. 81. Углы, образованные хордами, касательными и секущими. Глава 9. Окружность - номер 774, страница 205.

774 Докажите, что градусные меры дуг окружности, заключённых между параллельными хордами, равны.

Для доказательства данного утверждения рассмотрим окружность с центром в точке $O$ и две параллельные хорды $AB$ и $CD$. Нам необходимо доказать, что дуги, заключённые между этими хордами, то есть дуга $AC$ и дуга $BD$, имеют равные градусные меры.

Дано:
Окружность.
Хорды $AB$ и $CD$.
$AB \parallel CD$.

Доказать:
Градусная мера дуги $AC$ равна градусной мере дуги $BD$ (обозначим как $?AC = ?BD$).

Доказательство:

Проведём хорду $AD$. Эта хорда является секущей для параллельных прямых, на которых лежат хорды $AB$ и $CD$.

По свойству параллельных прямых, внутренние накрест лежащие углы, образованные секущей, равны. В нашем случае это углы $\angle DAB$ и $\angle CDA$: $$ \angle DAB = \angle CDA $$

Угол $\angle DAB$ является вписанным в окружность и опирается на дугу $BD$. По теореме о вписанном угле, его величина равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается: $$ \angle DAB = \frac{1}{2} ?BD $$

Аналогично, угол $\angle CDA$ является вписанным в окружность и опирается на дугу $AC$. Его величина также равна половине градусной меры соответствующей дуги: $$ \angle CDA = \frac{1}{2} ?AC $$

Поскольку мы установили, что $\angle DAB = \angle CDA$, мы можем приравнять выражения для этих углов: $$ \frac{1}{2} ?BD = \frac{1}{2} ?AC $$

Умножив обе части равенства на 2, получаем: $$ ?BD = ?AC $$

Таким образом, мы доказали, что градусные меры дуг окружности, заключённых между параллельными хордами, равны. Четырехугольник $ACDB$, образованный концами хорд, является вписанной равнобокой трапецией.

Ответ: Что и требовалось доказать.