Номер 774, страница 205 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Окружность. Параграф 2. Центральные и вписанные углы. 81. Углы, образованные хордами, касательными и секущими - номер 774, страница 205.

Условие.

774 Докажите, что градусные меры дуг окружности, заключённых между параллельными хордами, равны.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 9.

Решение 11.

Для доказательства данного утверждения рассмотрим окружность с центром в точке $O$ и две параллельные хорды $AB$ и $CD$. Нам необходимо доказать, что дуги, заключённые между этими хордами, то есть дуга $AC$ и дуга $BD$, имеют равные градусные меры.

Дано:
Окружность.
Хорды $AB$ и $CD$.
$AB \parallel CD$.

Доказать:
Градусная мера дуги $AC$ равна градусной мере дуги $BD$ (обозначим как $?AC = ?BD$).

Доказательство:

Проведём хорду $AD$. Эта хорда является секущей для параллельных прямых, на которых лежат хорды $AB$ и $CD$.

По свойству параллельных прямых, внутренние накрест лежащие углы, образованные секущей, равны. В нашем случае это углы $\angle DAB$ и $\angle CDA$: $$ \angle DAB = \angle CDA $$

Угол $\angle DAB$ является вписанным в окружность и опирается на дугу $BD$. По теореме о вписанном угле, его величина равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается: $$ \angle DAB = \frac{1}{2} ?BD $$

Аналогично, угол $\angle CDA$ является вписанным в окружность и опирается на дугу $AC$. Его величина также равна половине градусной меры соответствующей дуги: $$ \angle CDA = \frac{1}{2} ?AC $$

Поскольку мы установили, что $\angle DAB = \angle CDA$, мы можем приравнять выражения для этих углов: $$ \frac{1}{2} ?BD = \frac{1}{2} ?AC $$

Умножив обе части равенства на 2, получаем: $$ ?BD = ?AC $$

Таким образом, мы доказали, что градусные меры дуг окружности, заключённых между параллельными хордами, равны. Четырехугольник $ACDB$, образованный концами хорд, является вписанной равнобокой трапецией.

Ответ: Что и требовалось доказать.