Номер 771, страница 205 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Окружность. Параграф 2. Центральные и вписанные углы. 81. Углы, образованные хордами, касательными и секущими - номер 771, страница 205.

Условие.

771 В окружность вписан треугольник ABC так, что AB — диаметр окружности. Найдите углы треугольника, если: а) ◡BC = 134°; б) ◡АС = 70°.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Поскольку в окружность вписан треугольник $ABC$ и его сторона $AB$ является диаметром, то угол $C$, опирающийся на этот диаметр, является прямым. Это следует из свойства, что вписанный угол, опирающийся на полуокружность, равен $90^\circ$. Таким образом, $\angle C = 90^\circ$.

Величина любого вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

а) По условию, градусная мера дуги $BC$ равна $134^\circ$.

Угол $A$ ($\angle BAC$) опирается на дугу $BC$. Следовательно, его величина равна: $\angle A = \frac{1}{2} \cdot \cup BC = \frac{1}{2} \cdot 134^\circ = 67^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Зная углы $A$ и $C$, находим угол $B$: $\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 67^\circ - 90^\circ = 23^\circ$.

Ответ: углы треугольника равны $67^\circ, 23^\circ, 90^\circ$.

б) По условию, градусная мера дуги $AC$ равна $70^\circ$.

Угол $B$ ($\angle ABC$) опирается на дугу $AC$. Следовательно, его величина равна: $\angle B = \frac{1}{2} \cdot \cup AC = \frac{1}{2} \cdot 70^\circ = 35^\circ$.

Зная, что $\angle C = 90^\circ$ и $\angle B = 35^\circ$, находим угол $A$ из суммы углов треугольника: $\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 35^\circ - 90^\circ = 55^\circ$.

Ответ: углы треугольника равны $55^\circ, 35^\circ, 90^\circ$.