Номер 778, страница 205 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Центральные и вписанные углы. 81. Углы, образованные хордами, касательными и секущими. Глава 9. Окружность - номер 778, страница 205.

778 Отрезок АС — диаметр окружности, AB — хорда, МА — касательная, угол МAB острый. Докажите, что ∠MAB = ∠ACB.

Доказательство

1. По свойству касательной, проведенной к окружности, она перпендикулярна радиусу (а следовательно, и диаметру), проведенному в точку касания. В нашей задаче $MA$ — касательная, а $AC$ — диаметр, проведенный в точку касания $A$. Следовательно, угол между ними прямой:
$\angle MAC = 90^\circ$.

2. Угол $\angle MAC$ состоит из двух углов: $\angle MAB$ и $\angle BAC$. Это означает, что:
$\angle MAB + \angle BAC = \angle MAC = 90^\circ$.
Из этого равенства мы можем выразить $\angle MAB$:
$\angle MAB = 90^\circ - \angle BAC$. (1)

3. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Угол $\angle ABC$ является вписанным углом, который опирается на диаметр $AC$. По теореме о вписанном угле, опирающемся на диаметр, этот угол является прямым:
$\angle ABC = 90^\circ$.

4. Так как $\triangle ABC$ — прямоугольный треугольник, сумма его острых углов равна $90^\circ$:
$\angle BAC + \angle ACB = 90^\circ$.
Из этого равенства выразим $\angle ACB$:
$\angle ACB = 90^\circ - \angle BAC$. (2)

5. Сравнивая правые части выражений (1) и (2), мы видим, что они равны. Следовательно, должны быть равны и левые части:
$\angle MAB = \angle ACB$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\angle MAB = \angle ACB$ доказано.