Номер 785, страница 208 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

83. Описанная окружность. § 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Глава 9. Окружность - номер 785, страница 208.

785 Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм — ромб.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, в который можно вписать окружность. Требуется доказать, что $ABCD$ является ромбом.

Воспользуемся свойством описанного четырехугольника (т.е. четырехугольника, в который можно вписать окружность). Это свойство гласит, что суммы длин его противоположных сторон равны. Для нашего параллелограмма $ABCD$ это свойство записывается следующим равенством: $AB + CD = BC + AD$

Теперь используем свойство параллелограмма, согласно которому его противолежащие стороны равны: $AB = CD$ и $BC = AD$

Подставим эти равенства из свойства параллелограмма в равенство для описанного четырехугольника: $AB + AB = BC + BC$

Упростим полученное выражение: $2 \cdot AB = 2 \cdot BC$

Разделив обе части уравнения на 2, мы получаем: $AB = BC$

Таким образом, мы доказали, что смежные стороны параллелограмма ($AB$ и $BC$) равны. Поскольку в параллелограмме противолежащие стороны также равны ($AB = CD$ и $BC = AD$), то из равенства $AB = BC$ следует, что все четыре стороны параллелограмма равны между собой: $AB = BC = CD = AD$

Параллелограмм, у которого все стороны равны, по определению является ромбом. Следовательно, параллелограмм $ABCD$ — ромб. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если в параллелограмм можно вписать окружность, то по свойству описанных четырехугольников суммы его противоположных сторон равны: $AB + CD = BC + AD$. Так как для параллелограмма $AB=CD$ и $BC=AD$, то равенство принимает вид $2 \cdot AB = 2 \cdot BC$, откуда $AB = BC$. Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, является ромбом.