Номер 788, страница 208 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

83. Описанная окружность. § 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Глава 9. Окружность - номер 788, страница 208.

788 Сумма двух противоположных сторон описанного четырёхугольника равна 10 см, а его площадь — 12 см². Найдите радиус окружности, вписанной в этот четырёхугольник.

Пусть стороны описанного четырехугольника равны $a, b, c$ и $d$. По условию задачи, сумма двух противоположных сторон равна 10 см. Допустим, $a+c = 10$ см.

Согласно свойству описанного четырехугольника (теорема Пито), суммы длин его противоположных сторон равны. Следовательно, сумма двух других противоположных сторон $b$ и $d$ также равна 10 см:
$b+d = a+c = 10$ см.

Периметр $P$ четырехугольника равен сумме длин всех его сторон:
$P = a+b+c+d = (a+c) + (b+d) = 10 + 10 = 20$ см.

Полупериметр $p$ равен половине периметра:
$p = \frac{P}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

Площадь $S$ любого описанного многоугольника вычисляется по формуле $S = p \cdot r$, где $p$ — полупериметр, а $r$ — радиус вписанной окружности.

Из этой формулы выразим радиус $r$. Нам известно, что площадь $S = 12$ см?, а полупериметр $p = 10$ см.
$r = \frac{S}{p} = \frac{12}{10} = 1,2$ см.

Ответ: 1,2 см.