Номер 792, страница 209 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

83. Описанная окружность. § 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Глава 9. Окружность - номер 792, страница 209.

792 Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная.

Пусть $ABCD$ — трапеция, около которой описана окружность. Это означает, что все её вершины $A$, $B$, $C$ и $D$ лежат на этой окружности. По определению трапеции, две её стороны параллельны. Пусть основания $AD$ и $BC$ параллельны, то есть $AD \parallel BC$. Боковыми сторонами являются отрезки $AB$ и $CD$.

Требуется доказать, что трапеция $ABCD$ является равнобедренной, то есть её боковые стороны равны ($AB = CD$) или, что эквивалентно, углы при основании равны ($\angle A = \angle D$ и $\angle B = \angle C$).

Доказательство можно провести, используя свойства углов вписанного четырёхугольника.

По свойству любого четырёхугольника, вписанного в окружность, сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Для трапеции $ABCD$ это означает:

$\angle A + \angle C = 180^\circ$

В то же время, по свойству трапеции, сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, также равна $180^\circ$, поскольку они являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $CD$. Таким образом:

$\angle D + \angle C = 180^\circ$

Сравнивая два полученных равенства:

1) $\angle A + \angle C = 180^\circ$ (свойство вписанного четырёхугольника)
2) $\angle D + \angle C = 180^\circ$ (свойство трапеции)

Из этих двух равенств следует, что $\angle A = \angle D$.

Трапеция, у которой углы при одном из оснований равны, является равнобедренной. Это один из признаков равнобедренной трапеции. Таким образом, утверждение доказано.

Альтернативное, более короткое доказательство использует свойства дуг и хорд. Теорема гласит, что параллельные хорды в окружности высекают равные дуги. Так как $AD \parallel BC$, то дуги, заключенные между ними, равны: $\text{?}AB = \text{?}CD$. В свою очередь, равные дуги стягиваются равными хордами. Отсюда следует, что боковые стороны трапеции равны: $AB = CD$. Трапеция с равными боковыми сторонами является равнобедренной.

Ответ: Утверждение доказано.