Номер 4, страница 209 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Окружность. Параграф 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Вопросы для повторения к главе 9 - номер 4, страница 209.

Условие.

4 Исследуйте взаимное расположение двух окружностей в зависимости от их радиусов и расстояния между их центрами. Сформулируйте полученные выводы.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Для исследования взаимного расположения двух окружностей введем следующие обозначения: пусть $R_1$ и $R_2$ — радиусы первой и второй окружностей соответственно, а $d$ — расстояние между их центрами. Для удобства будем считать, что $R_1 \ge R_2$. Взаимное расположение окружностей зависит от соотношения между величиной $d$ и значениями $R_1 + R_2$ (сумма радиусов) и $R_1 - R_2$ (разность радиусов).

Рассмотрим все возможные случаи.

1. Окружности не пересекаются (одна расположена вне другой)

Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их радиусов, то эти окружности не имеют общих точек и каждая из них лежит вне другой. Математически это условие записывается как $d > R_1 + R_2$.
Ответ: Окружности не имеют общих точек и расположены одна вне другой при условии $d > R_1 + R_2$.

2. Внешнее касание окружностей

Если расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов, то окружности имеют одну общую точку. Такое расположение называется внешним касанием. Точка касания лежит на отрезке, соединяющем центры окружностей. Условие: $d = R_1 + R_2$.
Ответ: Окружности касаются внешним образом (имеют одну общую точку) при условии $d = R_1 + R_2$.

3. Пересечение окружностей

Если расстояние между центрами окружностей меньше суммы их радиусов, но больше их разности, то окружности пересекаются в двух точках. Условие: $R_1 - R_2 < d < R_1 + R_2$.
Ответ: Окружности пересекаются в двух точках при условии $R_1 - R_2 < d < R_1 + R_2$.

4. Внутреннее касание окружностей

Если радиусы окружностей не равны ($R_1 > R_2$) и расстояние между их центрами равно разности их радиусов, то окружности имеют одну общую точку. Такое расположение называется внутренним касанием. Меньшая окружность находится внутри большей. Условие: $d = R_1 - R_2$.
Ответ: Окружности касаются внутренним образом (имеют одну общую точку) при условии $d = R_1 - R_2$ и $R_1 \ne R_2$.

5. Окружности не пересекаются (одна расположена внутри другой)

Если расстояние между центрами меньше разности радиусов, то окружности не имеют общих точек, и одна из них (с меньшим радиусом) полностью лежит внутри другой (с большим радиусом). Условие: $0 \le d < R_1 - R_2$. Частным случаем является расположение, когда центры окружностей совпадают ($d=0$), но радиусы различны — такие окружности называются концентрическими.
Ответ: Окружности не имеют общих точек и одна расположена внутри другой при условии $0 \le d < R_1 - R_2$.

6. Совпадение окружностей

Если расстояние между центрами равно нулю и радиусы окружностей равны, то окружности полностью совпадают. В этом случае они имеют бесконечное множество общих точек. Условие: $d=0$ и $R_1 = R_2$.
Ответ: Окружности совпадают при условии $d=0$ и $R_1 = R_2$.