Номер 9, страница 209 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 9. § 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Глава 9. Окружность - номер 9, страница 209.

9 Какой угол называется вписанным? Сформулируйте и докажите теорему о вписанном угле.

Какой угол называется вписанным?

Вписанным углом окружности называется угол, вершина которого лежит на окружности, а его стороны пересекают эту окружность. Стороны вписанного угла являются хордами данной окружности.

Дуга, расположенная внутри угла и ограниченная точками пересечения сторон угла с окружностью, называется дугой, на которую опирается вписанный угол.

Ответ: Вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности, а его стороны являются хордами этой окружности.

Сформулируйте и докажите теорему о вписанном угле.

Формулировка теоремы:

Вписанный угол равен половине угловой меры дуги, на которую он опирается.

Доказательство:

Пусть в окружности с центром в точке $O$ дан вписанный угол $\angle ABC$, который опирается на дугу $AC$. Для доказательства необходимо рассмотреть три возможных случая расположения центра окружности $O$ относительно сторон угла $\angle ABC$.

Случай 1: Одна из сторон угла, например луч $BC$, совпадает с диаметром окружности.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Он является равнобедренным, так как стороны $OA$ и $OB$ равны как радиусы одной окружности. Следовательно, углы при основании $AB$ равны: $\angle OAB = \angle OBA$.

Угол $\angle AOC$ — центральный угол, опирающийся на дугу $AC$. Также он является внешним углом для треугольника $\triangle AOB$. По свойству внешнего угла, его мера равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle AOC = \angle OAB + \angle OBA$.

Поскольку $\angle OAB = \angle OBA = \angle ABC$, то $\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC$.

Угловая мера дуги $\wideparen{AC}$ равна мере центрального угла $\angle AOC$. Отсюда получаем: $\angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2} \wideparen{AC}$.

Случай 2: Центр окружности $O$ лежит внутри вписанного угла $\angle ABC$.

Проведем через вершину угла $B$ и центр $O$ диаметр $BD$. Этот диаметр разделит угол $\angle ABC$ на два угла: $\angle ABD$ и $\angle DBC$. Дуга $\wideparen{AC}$ также будет разделена на две дуги: $\wideparen{AD}$ и $\wideparen{DC}$.

Для каждого из углов $\angle ABD$ и $\angle DBC$ выполняется условие случая 1 (одна из сторон является частью диаметра). Следовательно, для них справедливы равенства:

$\angle ABD = \frac{1}{2} \wideparen{AD}$

$\angle DBC = \frac{1}{2} \wideparen{DC}$

Сложив эти два равенства, получаем:

$\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = \frac{1}{2} \wideparen{AD} + \frac{1}{2} \wideparen{DC} = \frac{1}{2} (\wideparen{AD} + \wideparen{DC}) = \frac{1}{2} \wideparen{AC}$.

Случай 3: Центр окружности $O$ лежит вне вписанного угла $\angle ABC$.

Проведем через вершину угла $B$ и центр $O$ диаметр $BD$. В этом случае искомый угол $\angle ABC$ можно представить как разность двух углов, для каждого из которых выполняется условие случая 1:

$\angle ABC = \angle ABD - \angle CBD$

Соответствующая дуга $\wideparen{AC}$ является разностью дуг $\wideparen{AD}$ и $\wideparen{CD}$.

Применяя результат случая 1, имеем:

$\angle ABD = \frac{1}{2} \wideparen{AD}$

$\angle CBD = \frac{1}{2} \wideparen{CD}$

Вычитая второе равенство из первого, получаем:

$\angle ABC = \angle ABD - \angle CBD = \frac{1}{2} \wideparen{AD} - \frac{1}{2} \wideparen{CD} = \frac{1}{2} (\wideparen{AD} - \wideparen{CD}) = \frac{1}{2} \wideparen{AC}$.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные случаи и доказали, что вписанный угол всегда измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Теорема доказана.

Ответ: Теорема о вписанном угле гласит, что величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается.