Номер 5, страница 209 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Окружность. Параграф 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Вопросы для повторения к главе 9 - номер 5, страница 209.

Условие.

5 Как зависит количество общих касательных от взаимного расположения двух окружностей?

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Количество общих касательных к двум окружностям зависит от их взаимного расположения. Взаимное расположение определяется соотношением между расстоянием между центрами окружностей ($d$) и их радиусами ($R$ и $r$). Рассмотрим все возможные случаи, для определенности будем считать, что $R \ge r$.

1. Окружности лежат одна вне другой и не касаются

Это происходит, когда расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов. Математически это условие записывается так: $d > R + r$. В этом случае можно провести две внешние общие касательные (окружности лежат по одну сторону от касательной) и две внутренние общие касательные (окружности лежат по разные стороны от касательной).
Ответ: 4 общих касательных.

2. Окружности касаются внешним образом

Это случай, когда окружности имеют одну общую точку и лежат одна вне другой. Расстояние между их центрами равно сумме радиусов: $d = R + r$. В этом положении существуют две внешние общие касательные и одна внутренняя общая касательная, которая проходит через точку касания окружностей.
Ответ: 3 общих касательных.

3. Окружности пересекаются в двух точках

Это происходит, когда расстояние между центрами меньше суммы радиусов, но больше их разности: $|R - r| < d < R + r$. В этом случае существуют только две общие касательные, и обе они являются внешними. Внутренних касательных провести невозможно.
Ответ: 2 общие касательные.

4. Окружности касаются внутренним образом

Это случай, когда окружности имеют одну общую точку, и одна окружность находится внутри другой. Расстояние между центрами равно разности радиусов: $d = R - r$ (при $R > r$). В этом положении существует только одна общая касательная, проходящая через точку касания.
Ответ: 1 общая касательная.

5. Одна окружность лежит внутри другой и не касается ее

Это происходит, когда одна окружность полностью находится внутри другой, не имея с ней общих точек. Расстояние между центрами меньше разности радиусов: $d < R - r$. Сюда же относится и случай концентрических окружностей (центры совпадают, $d=0$), если их радиусы не равны. В таком положении общих касательных у окружностей нет.
Ответ: 0 общих касательных.

6. Окружности совпадают

Это особый случай, когда центры окружностей совпадают ($d = 0$) и их радиусы равны ($R = r$). В этом случае окружности полностью накладываются друг на друга. Любая касательная к одной окружности является касательной и к другой.
Ответ: бесконечно много общих касательных.