Номер 11, страница 210 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 9. § 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Глава 9. Окружность - номер 11, страница 210.

11 Докажите, что вписанный угол, опирающийся на полуокружность, — прямой.

Рассмотрим окружность, вписанный в неё угол и полуокружность, на которую он опирается. Пусть концы полуокружности — это точки $A$ и $B$. Тогда отрезок $AB$ является диаметром окружности. Пусть вершина вписанного угла — это точка $C$, лежащая на этой полуокружности.

Задача состоит в том, чтобы доказать, что угол $\angle ACB$ является прямым, то есть его градусная мера равна $90^\circ$.

Для доказательства воспользуемся свойством вписанных углов. Теорема о вписанном угле гласит, что величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается.

В нашем случае вписанный угол $\angle ACB$ опирается на дугу $AB$. Так как отрезок $AB$ является диаметром, то дуга $AB$ представляет собой полуокружность. Градусная мера всей окружности составляет $360^\circ$. Соответственно, градусная мера полуокружности равна половине, то есть:

$\frac{360^\circ}{2} = 180^\circ$

Теперь, используя теорему о вписанном угле, мы можем вычислить градусную меру угла $\angle ACB$:

$\angle ACB = \frac{1}{2} \cdot (\text{градусная мера дуги } AB)$

Подставим значение градусной меры дуги $AB$:

$\angle ACB = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$

Угол, градусная мера которого равна $90^\circ$, является прямым. Таким образом, доказано, что вписанный угол, опирающийся на полуокружность, — прямой.

Ответ: Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Угол, опирающийся на полуокружность, соответствует дуге в $180^\circ$. Следовательно, его величина составляет $\frac{1}{2} \times 180^\circ = 90^\circ$, что означает, что этот угол — прямой.