Номер 17, страница 210 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Окружность. Параграф 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Вопросы для повторения к главе 9 - номер 17, страница 210.

Условие.

17 Каким свойством обладают стороны четырёхугольника, описанного около окружности?

Решение 2.

Решение 4.

Решение 10.

Решение 11.

Стороны четырёхугольника, описанного около окружности, обладают свойством, известным как теорема Пито. Она гласит, что если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противолежащих сторон равны.

Доказательство:

Пусть в выпуклый четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность. Обозначим точки касания этой окружности со сторонами $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ как $K$, $L$, $M$ и $N$ соответственно.

Согласно свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки, длины отрезков касательных от этой точки до точек касания равны. Таким образом, мы имеем следующие равенства:
1. $AK = AN$ (касательные из точки A)
2. $BK = BL$ (касательные из точки B)
3. $CL = CM$ (касательные из точки C)
4. $DL = DM$ (касательные из точки D)

Длины сторон четырёхугольника можно представить как суммы длин этих отрезков:
$AB = AK + KB$
$BC = BL + LC$
$CD = CM + MD$
$DA = DN + NA$

Теперь найдём суммы длин противолежащих сторон:
Сумма первой пары сторон: $AB + CD = (AK + KB) + (CM + MD)$
Сумма второй пары сторон: $BC + DA = (BL + LC) + (DN + NA)$

Используя равенства отрезков касательных, преобразуем выражение для суммы $BC + DA$:
$BC + DA = (BK) + (CM) + (DM) + (AK)$

Перегруппируем слагаемые в том же порядке, что и в выражении для $AB + CD$:
$BC + DA = (AK + KB) + (CM + MD)$

Таким образом, мы видим, что правые части выражений для сумм противолежащих сторон полностью совпадают. Следовательно, равны и левые части:
$AB + CD = BC + DA$

Свойство доказано. Важно отметить, что верно и обратное утверждение (признак описанного четырёхугольника): если суммы длин противолежащих сторон выпуклого четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Ответ: Суммы длин противолежащих сторон четырёхугольника, описанного около окружности, равны.