Номер 17, страница 210 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 9. § 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Глава 9. Окружность - номер 17, страница 210.

17 Каким свойством обладают стороны четырёхугольника, описанного около окружности?

Стороны четырёхугольника, описанного около окружности, обладают свойством, известным как теорема Пито. Она гласит, что если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противолежащих сторон равны.

Доказательство:

Пусть в выпуклый четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность. Обозначим точки касания этой окружности со сторонами $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ как $K$, $L$, $M$ и $N$ соответственно.

Согласно свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки, длины отрезков касательных от этой точки до точек касания равны. Таким образом, мы имеем следующие равенства:
1. $AK = AN$ (касательные из точки A)
2. $BK = BL$ (касательные из точки B)
3. $CL = CM$ (касательные из точки C)
4. $DL = DM$ (касательные из точки D)

Длины сторон четырёхугольника можно представить как суммы длин этих отрезков:
$AB = AK + KB$
$BC = BL + LC$
$CD = CM + MD$
$DA = DN + NA$

Теперь найдём суммы длин противолежащих сторон:
Сумма первой пары сторон: $AB + CD = (AK + KB) + (CM + MD)$
Сумма второй пары сторон: $BC + DA = (BL + LC) + (DN + NA)$

Используя равенства отрезков касательных, преобразуем выражение для суммы $BC + DA$:
$BC + DA = (BK) + (CM) + (DM) + (AK)$

Перегруппируем слагаемые в том же порядке, что и в выражении для $AB + CD$:
$BC + DA = (AK + KB) + (CM + MD)$

Таким образом, мы видим, что правые части выражений для сумм противолежащих сторон полностью совпадают. Следовательно, равны и левые части:
$AB + CD = BC + DA$

Свойство доказано. Важно отметить, что верно и обратное утверждение (признак описанного четырёхугольника): если суммы длин противолежащих сторон выпуклого четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Ответ: Суммы длин противолежащих сторон четырёхугольника, описанного около окружности, равны.