Номер 796, страница 210 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Окружность. Параграф 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Дополнительные задачи - номер 796, страница 210.

Условие.

796 Окружность касается двух параллельных прямых и их секущей. Докажите, что отрезок секущей, заключённый между параллельными прямыми, виден из центра окружности под прямым углом (см. п. 41).

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Пусть даны две параллельные прямые a и b, и их секущая c. Окружность с центром в точке O касается этих трех прямых. Пусть прямая c пересекает прямую a в точке A и прямую b в точке B. Требуется доказать, что отрезок AB виден из центра O под прямым углом, то есть, что $?AOB = 90°$.

Точка A является точкой пересечения двух касательных к окружности (прямых a и c). По свойству, центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла. Следовательно, луч OA является биссектрисой внутреннего угла, образованного в вершине A секущей c и прямой a.

Аналогично, точка B является точкой пересечения касательных b и c. Следовательно, луч OB является биссектрисой внутреннего угла в вершине B, образованного секущей c и прямой b.

Внутренние углы при вершинах A и B, лежащие по одну сторону от секущей c, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых a и b и секущей c. По свойству параллельных прямых, сумма таких углов равна $180°$.

Обозначим эти углы как $?\alpha$ (при вершине A) и $?\beta$ (при вершине B). Тогда $?\alpha + ?\beta = 180°$.

Поскольку OA и OB — биссектрисы этих углов, то углы в треугольнике $AOB$ равны: $?OAB = \frac{1}{2}?\alpha$ и $?OBA = \frac{1}{2}?\beta$.

Рассмотрим сумму углов в треугольнике $AOB$:

$?AOB + ?OAB + ?OBA = 180°$

Подставим в это уравнение выражения для $?OAB$ и $?OBA$:

$?AOB + \frac{1}{2}?\alpha + \frac{1}{2}?\beta = 180°$

$?AOB + \frac{1}{2}(?\alpha + ?\beta) = 180°$

Зная, что $?\alpha + ?\beta = 180°$, получаем:

$?AOB + \frac{1}{2}(180°) = 180°$

$?AOB + 90° = 180°$

$?AOB = 180° - 90° = 90°$

Таким образом, доказано, что отрезок секущей, заключённый между параллельными прямыми, виден из центра окружности под прямым углом.

Ответ: Что и требовалось доказать.