Номер 802, страница 210 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Окружность. Параграф 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Дополнительные задачи - номер 802, страница 210.

Условие.

802 Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А проведена прямая m, пересекающая эти окружности в точках С и D. Через точки С и D проведены касательные к окружностям, пересекающиеся в точке K. Докажите, что: а) величина угла СKD не зависит от выбора прямой m; б) четырёхугольник BCKD можно вписать в окружность.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

а)

Обозначим первую окружность как $\omega_1$, а вторую — как $\omega_2$. Точки $A$ и $B$ — точки их пересечения. Прямая $m$ проходит через точку $A$ и пересекает $\omega_1$ в точке $C$ и $\omega_2$ в точке $D$. $KC$ — касательная к $\omega_1$ в точке $C$, а $KD$ — касательная к $\omega_2$ в точке $D$.

Рассмотрим два постоянных угла. Угол $\angle BCA$ является вписанным углом в окружность $\omega_1$ и опирается на фиксированную хорду $AB$. Следовательно, его величина не зависит от положения точки $C$ на окружности (пока $C$ находится на одной и той же дуге $AB$), а значит, не зависит от выбора прямой $m$. Аналогично, угол $\angle BDA$ вписан в окружность $\omega_2$ и опирается на ту же хорду $AB$, поэтому его величина также постоянна.

Теперь рассмотрим $\triangle CKD$. Сумма его углов равна $180^\circ$, откуда $\angle CKD = 180^\circ - (\angle KCD + \angle KDC)$.

По теореме об угле между касательной и хордой для окружности $\omega_1$, угол $\angle KCA$ (он же $\angle KCD$) равен вписанному углу $\angle ABC$, который опирается на хорду $AC$. Итак, $\angle KCD = \angle ABC$.

Аналогично для окружности $\omega_2$, угол $\angle KDA$ (он же $\angle KDC$) равен вписанному углу $\angle ABD$, который опирается на хорду $AD$. Итак, $\angle KDC = \angle ABD$.

Подставив эти равенства в формулу для $\angle CKD$, получаем: $\angle CKD = 180^\circ - (\angle ABC + \angle ABD) = 180^\circ - \angle CBD$.

Теперь рассмотрим $\triangle BCD$. Сумма его углов равна $180^\circ$: $\angle CBD + \angle BCD + \angle BDC = 180^\circ$. Отсюда $\angle CBD = 180^\circ - (\angle BCD + \angle BDC)$. Поскольку точки $C, A, D$ лежат на одной прямой, то $\angle BCD = \angle BCA$ и $\angle BDC = \angle BDA$. Следовательно, $\angle CBD = 180^\circ - (\angle BCA + \angle BDA)$.

Теперь подставим найденное выражение для $\angle CBD$ в формулу для $\angle CKD$: $\angle CKD = 180^\circ - (180^\circ - (\angle BCA + \angle BDA)) = \angle BCA + \angle BDA$.

Так как величины углов $\angle BCA$ и $\angle BDA$ постоянны и не зависят от выбора прямой $m$, то их сумма, равная $\angle CKD$, также является постоянной величиной.

Ответ: Величина угла $CKD$ равна сумме постоянных углов $\angle BCA$ и $\angle BDA$ и, следовательно, не зависит от выбора прямой $m$.

б)

Чтобы доказать, что четырёхугольник $BCKD$ можно вписать в окружность, достаточно доказать, что сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.

В ходе решения пункта а) мы получили соотношение, связывающее углы $\angle CKD$ и $\angle CBD$: $\angle CKD = 180^\circ - \angle CBD$.

Перенеся $\angle CBD$ в левую часть равенства, получим: $\angle CKD + \angle CBD = 180^\circ$.

Сумма противоположных углов $\angle CKD$ и $\angle CBD$ в четырёхугольнике $BCKD$ равна $180^\circ$. Это является достаточным условием для того, чтобы четырёхугольник был вписанным в окружность.

Ответ: Четырёхугольник $BCKD$ можно вписать в окружность, так как сумма его противоположных углов $\angle CKD$ и $\angle CBD$ равна $180^\circ$.