Номер 799, страница 210 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Глава 9. Окружность - номер 799, страница 210.

799 Диаметр АА₁ окружности перпендикулярен к хорде ВВ₁. Докажите, что градусные меры дуг AB и AB₁, меньших полуокружности, равны.

Пусть $O$ — центр окружности. Поскольку $AA_1$ — это диаметр, центр окружности $O$ лежит на отрезке $AA_1$. Пусть точка $H$ — это точка пересечения диаметра $AA_1$ и хорды $BB_1$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OBB_1$. Стороны $OB$ и $OB_1$ являются радиусами одной и той же окружности, поэтому $OB = OB_1$. Это означает, что треугольник $\triangle OBB_1$ является равнобедренным с основанием $BB_1$.

По условию задачи, диаметр $AA_1$ перпендикулярен хорде $BB_1$. Следовательно, $OH \perp BB_1$. Отрезок $OH$ является высотой равнобедренного треугольника $\triangle OBB_1$, проведенной из вершины $O$ к основанию $BB_1$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также биссектрисой угла при вершине. Значит, $OH$ делит угол $\angle BOB_1$ пополам. Таким образом, $\angle BOH = \angle B_1OH$.

Поскольку точка $H$ лежит на диаметре $AA_1$, то углы $\angle BOH$ и $\angle B_1OH$ совпадают с центральными углами $\angle AOB$ и $\angle AOB_1$ соответственно (так как речь идет о дугах, меньших полуокружности). Следовательно, $\angle AOB = \angle AOB_1$.

Градусная мера дуги окружности равна градусной мере соответствующего ей центрального угла. Так как центральные углы $\angle AOB$ и $\angle AOB_1$, стягивающие дуги $AB$ и $AB_1$, равны, то и градусные меры самих дуг также равны.

Ответ: Утверждение доказано. Равенство градусных мер дуг $AB$ и $AB_1$ следует из равенства соответствующих им центральных углов $\angle AOB$ и $\angle AOB_1$. Это равенство, в свою очередь, доказывается через свойство высоты равнобедренного треугольника $\triangle OBB_1$, которая также является и его биссектрисой.