Номер 806, страница 211 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Глава 9. Окружность - номер 806, страница 211.

806 Докажите, что если прямые, содержащие основания трапеции, касаются окружности, то прямая, проходящая через середины боковых сторон трапеции, проходит через центр этой окружности.

Пусть дана трапеция, основания которой лежат на параллельных прямых $a$ и $b$. Пусть окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$ касается этих прямых.

По свойству касательной, расстояние от центра окружности до прямой, касающейся ее, равно радиусу. Следовательно, расстояние от точки $O$ до прямой $a$ равно $R$, и расстояние от точки $O$ до прямой $b$ также равно $R$. Математически это записывается как $\rho(O, a) = R$ и $\rho(O, b) = R$.

Таким образом, центр окружности, точка $O$, является точкой, равноудаленной от двух параллельных прямых $a$ и $b$.

Известно, что геометрическое место точек, равноудаленных от двух параллельных прямых, — это прямая, которая параллельна данным прямым и проходит ровно посередине между ними.

Рассмотрим теперь прямую, проходящую через середины боковых сторон трапеции. По определению, эта прямая является средней линией трапеции. По свойству средней линии, она параллельна основаниям трапеции (то есть прямым $a$ и $b$) и проходит ровно посередине между ними.

Следовательно, средняя линия трапеции и есть то самое геометрическое место точек, равноудаленных от прямых $a$ и $b$.

Поскольку точка $O$ принадлежит этому геометрическому месту точек, она должна лежать на средней линии трапеции. Таким образом, прямая, проходящая через середины боковых сторон трапеции, проходит через центр этой окружности, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Центр окружности $O$ равноудален от параллельных прямых, содержащих основания трапеции. Средняя линия трапеции является геометрическим местом точек, равноудаленных от этих прямых. Следовательно, центр окружности лежит на средней линии трапеции.