Номер 813, страница 213 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Глава 9. Окружность - номер 813, страница 213.

813 В прямоугольном треугольнике ABC из точки М стороны АС проведён перпендикуляр МН к гипотенузе AB. Докажите, что углы МНС и МВС равны.

Доказательство:

Пусть в прямоугольном треугольнике ABC угол C является прямым, то есть $ \angle ACB = 90^\circ $. Тогда AC и BC — катеты, а AB — гипотенуза.

Рассмотрим четырехугольник MHBC.

По условию, точка M лежит на стороне AC. Следовательно, угол MCB является частью угла ACB (или совпадает с ним), поэтому $ \angle MCB = \angle ACB = 90^\circ $.

Также по условию, из точки M проведен перпендикуляр MH к гипотенузе AB. Это означает, что $ MH \perp AB $, и, следовательно, $ \angle MHB = 90^\circ $.

В четырехугольнике MHBC точки C и H лежат по одну сторону от отрезка MB. При этом отрезок MB виден из точек C и H под одинаковым углом: $ \angle MCB = \angle MHB = 90^\circ $.

Согласно свойству вписанного четырехугольника, если две точки, лежащие по одну сторону от прямой, видят отрезок на этой прямой под одним и тем же углом, то все четыре точки лежат на одной окружности. Таким образом, точки M, C, B, H лежат на одной окружности, а четырехугольник MHBC является вписанным.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. В окружности, описанной около четырехугольника MHBC, углы $ \angle MHC $ и $ \angle MBC $ опираются на одну и ту же дугу MC.

Следовательно, $ \angle MHC = \angle MBC $, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Равенство $ \angle MHC = \angle MBC $ следует из того, что четырехугольник MHBC является вписанным в окружность, а указанные углы опираются на одну и ту же дугу MC.